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1.5. FILTRO DI SMOOTHING GAUSSIANO

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Il peso dei coe cienti della maschera è inversamente proporzionale alla distanza
dei pixel rispetto a quello centrale (i pixel a distanza maggiore di circa 3‡ non
avranno alcuna influenza per il filtraggio).
Tra le proprietà del filtro gaussiano, ricordiamo quelle più importanti:
• Simmetria circolare rispetto all’origine;

• Monotono decrescente (nel dominio spaziale e delle frequenze);
• Separabile (questa ci ritornerà utile in seguito).

1.5.1

Proprietà

Il filtro gaussiano esegue l’operazione di smoothing in modo identico in tutte
le direzioni. Da ciò se ne deduce che il filtro opera in maniera indipendente
all’orientazione delle strutture presenti nell’immagine. Questa proprietà è dimostrata convertendo le coordinate cartesiane (l, k) in coordinate polari (r, ◊)
nella funzione gaussiana:
r2

h(r, ◊) = ce≠ 2‡2
dove il raggio polare r è definito da: r2 = l2 + k 2 . La proprietà di simmetria
circolare è dimostrata dalla non dipendenza di h(r, ◊) e dall’azimut ◊.

1.5.2

Proprietà nel dominio delle frequenze

La trasformata di Fourier della funzione gaussiana è ancora una funzione gaussiana con soli valori reali. Per dimostrarlo, consideriamo la funzione gaussiana
h(x) ed applichiamo la trasformata:
H(u) = F (h(x)) =
=
=
=
=
=

´ +Œ
≠Œ

h(x)e≠jux dx
2

´ +Œ

x
e≠ 2‡2 e≠jux dx
≠Œ
´ +Œ ≠ x2
e 2‡2 (cos ux + j
≠Œ
´ +Œ ≠ x2
e 2‡2 cos uxdx +
≠Œ
´ +Œ ≠ x2
e 2‡2 cos uxdx
≠Œ

Ô

u2

2fi‡e 2‹ 2

sin ux)dx [Eulero]
´ +Œ
x2
j ≠Œ e≠ 2‡2 sin uxdx