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1.4. CONVOLUZIONE DISCRETA 2D

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Convoluzione discreta 2D

L’operazione di convoluzione costituisce una sorta di legame tra il dominio spaziale e il dominio della frequenza dei sistemi lineari tempo invarianti nonché un
utile strumento degli algoritmi di image processing.
Date due funzioni continue 1D, tali f (x) e g(x), la loro convoluzione è definita
dalla seguente:
+Œ
ˆ
f (x) ı g(x) =
f (–)(x ≠ –) d–
≠Œ

dove – è una variabile di comodo per l’integrazione.
Nel caso 2D ovviamente le due funzioni, tali f (x, y) e g(x, y) saranno convolute
mediante la seguente:
+Œ +Œ
ˆ ˆ
f (x, y) ı g(x, y) =
f (–, —)g(x ≠ –, y ≠ —) d–d—
≠Œ ≠Œ

La formulazione della convoluzione 2D discreta assume che i(x, y) e h(x, y) siano
due array discreti di dimensioni rispettivamente X ◊ Y e I ◊ J:
g(x, y) =
qM ≠1 qN ≠1
=
–=0
—=0

ie (x, y) ı he (x, y)
con x = 0, . . . , M ≠ 1 e y = 0, . . . , N ≠ 1

La convoluzione discreta 2D è periodica ed è e ettuata assumendo un’estensione
delle funzioni i(x, y) e h(x, y) in modo che risulti:
I
i(x, y) 0 Æ x Æ X ≠ 1 0 Æ y Æ Y ≠ 1
ie (x, y) =
0 X ÆxÆM ≠1 Y Æy ÆN ≠1
I
h(x, y) 0 Æ x Æ I ≠ 1 0 Æ y Æ J ≠ 1
he (x, y) =
0 I ÆxÆM ≠1 J Æy ÆN ≠1
Con: M Ø X + I ≠ 1 ed N Ø Y + J ≠ 1