Cálculo de propriedades geométricas de seções de paredes finas abertas, fechadas e mistas
Isolando ω D na eq.( 20) e substituindo na eq.( 11), tem-se:
I xω D
= Q x. �ω A + y D − y A. x s − x s0 − x D − x A. y s − y s0
� 25
Agora, substituindo a eq.( 25) na eq.( 21) e fazendo as devidas simplificações, tem-se:
I xω A |
|
|
= x D − x A. I xy − y s. Q x |
|
|
− y D − y A. I x − x s. Q x |
+ ω A. Q x |
26 |
A integral na área da área setorial é definida como momento estático setorial, dado por:
Q ω = � ω dA 27
A
Fazendo a integral da área em ambos os lados da eq.( 26), tem-se:
Dividindo a eq.( 28) pela área A, temse:
I xω A. A |
|
|
= x D − x A. I xy. A − Q y. Q x |
|
|
− y D − y A. I x. A − Q x. Q x |
+ Q ω A. Q x |
28 |
principal e uma origem principal através dos quais se obtém a área setorial principal. O pólo principal é o centro de torção e a origem principal é tal que a seguinte condição seja satisfeita( MORI; MUNAIAR NETO, 2009):
Q ω = � ω dA = 0 32
A
Integrando na área ambos os lados da eq.( 20), tem-se:
Q ω A
= Q ω D + x D − x A. Q y − y s0. A − y D − y A. Q x − x s0. A 33
Impondo a condição da eq.( 32) para o pólo D, ou seja, fazendo, dividindo ambos os lados pela área A e reagrupando os termos, tem-se:
x D − x A. y s0 − y D − y A. x s0 = x D − x A. y C − y D − y A. x C − Q ωA
A
34
Substituindo a eq.( 34) na eq.( 20) e isolando o termo ω D, a equação para a área setorial principal pode ser escrita como:
ω� D
= ω A − Q ωA A + y D − y A. x s − x C − x D − x A. y s − y C 35
I xω A |
|
|
= x D − x A. I xy − y C. Q x |
|
|
− y D − y A. I x − x C. Q x |
+ Q ω A. x C |
29 |
Fazendo um procedimento análogo para a expressão de I xω A, fica:
I yωA
= x D − x A. I y − y C. Q y − y D − y A. I xy − x C. Q y + Q ω A. y C 30
Isolando as coordenadas do pólo D e reagrupando os termos de forma matricial, as coordenadas do centro de torção são dadas por: x D
I xy − y C. Q x |
x C. Q x − I x |
I y − y C. Q y |
x C. Q y − I xy |
|
I xy − y C. Q x
I y − y C. Q y
|
−1 x C. Q x − I x
. x C. Q y − I xy
|
y
= D
−1 I xω A + x A I xy − y C. Q x − y A.( I x − x C. Q x) − Q ωA. x C
. x D 31
I yωA y +
= D x A I y − y C. Q y − y A.( I xy − x C. Q y) − Q ωA. y C I xω A + x A I xy − y C. Q x − y A.( I x − x C. Q x) − Q ωA. x C
31
I yωA + x A I y − y C. Q y − y A.( I xy − x C. Q y) − Q ωA. y C A área setorial de uma seção pode ser calculada para quaisquer pólo e origem( s 0
) arbitrários. No entanto, existe um pólo
Onde ω� D é a notação utilizada neste trabalho para a área setorial principal. As propriedades setoriais obtidas através da área setorial principal são denominadas propriedades setoriais principais.
O momento estático setorial principal e os produtos setoriais principais de inércia são zero, visto que essa é uma condição necessária para obtenção da área setorial principal, conforme mostrado neste capítulo. Para efeito de verificação, estas propriedades podem ser obtidas a partir das equações seguintes:
Q ω = � ω� D dA 36
A
I xω = �x. ω� D dA A
I yω = �y. ω� D dA A
37a e 37b
450 Série Iniciados v. 23