Cálculo de propriedades geométricas de seções de paredes finas abertas, fechadas e mistas
A, com origem em s = s 0, é definida como: s ω A s = � r⃗ A s. e⃗ n( s) s 0
Onde r⃗ A s é conhecido como raio vetor e definido como o vetor com origem no ponto A e extremidade final num ponto( x, y) da linha central da seção, como mostra a figura 5. e⃗ n( s) é o vetor unitário normal à tangente no ponto( x, y) e pode ser obtido através do produto vetorial entre o vetor unitário e⃗ s, tangente ao ponto( x, y) e no sentido positivo do eixo s, e o vetor unitário
e⃗ z, pois estes são perpendiculares entre si. O produto r⃗ A s. e⃗ n( s) é representado por h A
, cuja equação é demonstrada a seguir.
A partir da figura 6, decompõese o vetor e⃗ s em termos dos vetores unitários e⃗ x e e⃗ y. O vetor e⃗ n é normal ao plano que contem os vetores e⃗ s e e⃗ z, assim aquele pode ser obtido através do produto vetorial destes. Assim, tem-se que:
e⃗ s = ∂x ∂s. e⃗ x + ∂y
∂s. e⃗ y 17 e⃗ n = e⃗ s x e⃗ z 18
Substituindo a eq.( 17) em( 18) e obtendo a expressão para, segue o desenvolvimento para obtenção de h A
: e⃗ n =
∂x ∂s. e⃗ x + ∂y ∂s. e⃗ y x e⃗ z = ∂x ∂s. −e⃗ y
+ ∂y ∂s. e⃗ x r⃗ A s = x s − x A. e⃗ x − y s − y A. e⃗ y
∂y h A s = r⃗ A s. e⃗ n = x s − x A
∂s y ∂y
s − x A s − y
∂s − y ∂x
s − A y A
∂s
O sinal do produto escalar r⃗ A s. e⃗ n( s) é positivo quando o ângulo entre estes dois vetores é menor que 90 ° e negativo quando maior que 90 °. O raio vetor r⃗ A s percorre o eixo s no sentido crescente deste eixo. Analisando a figura 2.3, nota-se que quando r⃗ A s percorre o eixo s de forma a varrer um ângulo no sentido anti-horário, o produto r⃗ A s. e⃗ n( s) tem sinal positivo. Já quando r⃗ A s percorre o eixo s de forma a varrer um ângulo no sentido horário, o produto vetorial e s x e⃗ z
resulta em um vetor e⃗ n de sentido contrário ao anterior, o que torna o sinal do produto r⃗ A s. e⃗ n( s) negativo. Dessa forma, fica definido que o sinal da área setorial será positivo quando varrer um ângulo no sentido anti-horário e negativo quando r⃗ A s varrer um ângulo no sentido horário. Com a finalidade de encontrar o lugar geométrico do centro de torção D, faz-se o seguinte artifício de cálculo. Sejam A e D dois pontos do plano que contem a seção, como mostra a figura 7. Calcula-se a área setorial em relação ao ponto A em função da área setorial em relação ao ponto D, onde h A é dado pela soma de h D com o produto escalar r⃗ AD. e⃗ n.
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Figura 5. Definição da área setorial
Fonte: Produzido pelo autor
448 Série Iniciados v. 23