Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências
Definição 8: uma classe de
sequências X é dita linearmente estável se
1
L X; X( E; F) L( E; F)
= para todos os espaços de Banach E e F, isto é, para todo u ∈ L( E; F),( u x j) ∞ ∞
j = 1 ∈ X( F) sempre que x j j = 1 ∈ X( E� e u�: X E ⟶ X E = u.
Todas as classes de sequências listada no Exemplo 1, apresentado anteriormente, são linearmente estáveis.
Antes de aplicarmos o ambiente abstrato no contexto da teoria de ideais, vejamos a definição formal de um ideal de operadores multilineares. Novamente, o caso linear é resgatado fazendo-se, como sempre, n = 1.
Definição 9: Seja n ∈ N. Um ideal de Banach( ou completo) de operadores n-lineares é um par M n, ∥⋅∥ onde M n é uma subclasse de todos os operadores n-lineares entre espaços de Banach e ∥⋅∥ Mn: M n ⟶ R é uma aplicação tal que, para todos os espaços de Banach E 1, …, E n, F, a componente
M n E 1, …, E n; F ≔ L E 1, …, E n; F ∩ M n
É um subespaço vetorial completo de |
L E 1, …, E n; F com a norma ∥⋅∥ Mn e |
i. |
M n( E 1,…, E n; F) contém os operadores |
n-lineares de tipo finito e I n: K n ⟶ K, I n λ 1, …, λ n |
= λ 1, …, λ n |
Mn = 1 |
ii. Se A ∈ M n E 1,…, E n; F, u m ∈ L G m; E m, m = 1, …, n, e v ∈ L( F; H), então v ∘ A ∘( u 1, …, u n) ∈ M n( G 1,…, G n; H� e
v ∘ A ∘( u 1, …, u n) Mn ≤ v � A Mn � u 1 … u n
O caso n = 1 recupera a noção de ideal de operadores lineares.
Dadas as classes de sequências
X 1, …, X n, Y dizemos que
1
X 1 K, …, X n K Y( K)
↪ se λ 1 n
∞ j,…, λ j ∈ Y( K� j = 1 e λ j 1,…, λ j
n
∞ j = 1
Y( K) n
≤ � m = 1 λ j
m
∞ j = 1
X m( K) m
∞ sempre que λ j ∈ Xm K, m = 1, …, n. j = 1
O teorema a seguir, sem sombra
de dúvidas um dos mais importantes do trabalho, juntamente com a Proposição 8, estabelece as condições desejadas para que uma classe de operadores, no escopo do ambiente abstrato construído, forme um multi-ideal( ideal linear, caso n = 1) de operadores.
Teorema 5: Sejam n ∈ N e X 1, …, X n, Y
classes de sequências linearmente estáveis
1 tais que X 1 K, …, X n K Y( K)
↪
. Então L X1,…, X n; Y, ∥�∥ X1,…, X n; Y é um ideal de Banach de
operadores n-lineares.
Muitos dos mais importantes ideais estudados a décadas na literatura são casos particulares de ideais gerados pelo teorema anterior, como é o caso dos operadores absolutamente somantes. O teorema também nos diz, e isso é importante que seja reforçado, que qualquer nova classe de operadores que se caracterize por transformações de sequências pode ser estudada por esse ambiente( a exemplo das classes estudadas em( BOTELHO; CAMPOS, 2016) e( BOTELHO; CAMPOS; SANTOS, 2017). Isso simplifica muito as demonstrações de propriedades de ideais, de páginas inteiras para algumas linhas. Para mais classes que se encaixam nesse ambiente abstrato, veja( BOTELHO; BLASCO; PELLEGRINO; RUEDA, 2011),( COHEN, 1973) e( MEZRAG; SAADI, 2009).
Exemplo 2: A caracterização por desigualdades para operadores absolutamente somantes, vista na Proposição 6, é obtida imediatamente, por meio dos resultados abstratos comentados pela Definição 7 e Proposição 8. De fato, a definição dessa classe de operadores implica diretamente em a) da Proposição 8 e os espaços de sequências envolvidos, l p � e l w p(, são classes de sequências finitamente determinadas. Esta é apenas uma pequena demonstração do poder do ambiente abstrato definido pelas classes de sequências: não é necessário fazer nenhuma conta para se obter o resultado, bastando apenas o conhecimento sobre as propriedades das classes de sequências envolvidas.
Exemplo 3: Já sabemos que � E E, F, F = L lp �; l w p( ��( E; F). Como l p � e l w p( �� p
p
Série Iniciados v. 23
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