Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências
Banach sobre K. O símbolo E ↪ 1 F significa que E é um subespaço vetorial de F e x F ≤ x E, para todo x ∈ E. O símbolo L E, E 1, …, E n; F denota o espaço de Banach de todos os operadores n-lineares A: E × E 1 × … × E n ⟶ F munido com a norma usual do sup. Dados φ m ∈ E ´ m, m = 1, …, n, e B ∈ F, considere o operador φ 1 ⨂ … ⨂ φ n ∈ L E, E 1, …, E n; F dado por
φ 1 � … � φ n �b x 1,…, x n = φ x 1 … φ x n b
Combinações lineares de operadores deste tipo são chamados de operadores-lineares de tipo finito.
Definição 7: Uma classe de sequências a valores vetoriais X, ou simplesmente uma classe de sequências X, é uma regra que associa cada espaço E ∈ BAN a um espaço de sequências X E a valores em E, ou seja, X E é um subespaço vetorial de E N, com as operações usuais sobre sequências, tal que:
1 c 00 E ⊆ X E l ∞( E)
↪ e e j X( K) = 1, para todo j. Uma classe de sequências X é finitamente determinada se para toda
∞ sequência x j j = 1 ∈ E N ∞
, x j j = 1 ∈ X E se, e k somente se, sup k( x j) < + ∞ e neste j = 1 X( E) caso
∞ x j j = 1 k X( E) = sup k x j j = 1
X( E)
Exemplo 1: Seja 1 ≤ p < + ∞.. Sendo X E qualquer um dos espaços a seguir, a regra E ↦ X( E) é uma classe de sequências:
• l p E = sequências absolutamente p-somáveis em E com a norma usual ∥�∥ p.
• l w p( E� = sequencias fracamente p- somáveis em E com a norma
∞ x j j = 1
∞
X( E) = sup φ∈B E ´
�φ x j) j = 1
As classes de sequências l p � e l w p( ��, são finitamente determinadas.
A proposição a seguir estabelece, em função da definição do ambiente abstrato determinado por classes de sequências, caracterizações por desigualdades para classes de operadores que podem ser caracterizados por transformações de
p sequências. O caso linear é obtido fazendo-se n = 1.
Proposição 8: Sejam n ∈ N e X 1, …, X n, Y classes de sequências. São equivalentes para um operador multilinear A ∈ L E 1, …, E n; F:
a) �A x 1 j,… x n ∞ j) ∈ Y F sempre que j = 1
∞
∈ Xm( E m �, m = 1, …, n.( 1) x j
m j = 1 b) A aplicação induzida Â: X 1( E 1) × ⋯ × X n( E n) ⟶ Y( F�, dada por
1
∞
 x j, …, n
∞ xj = A 1 xj,…, x n ∞ j
� j = 1 j = 1 j = 1 está bem definida e caracteriza um operador
n-linear contínuo.
As condições acima implicam na condição( c) abaixo, e todas são equivalentes se as classes de sequências X 1, …, X n e Y são finitamente determinadas: c) Existe uma constante C > 0 tal que
∞
A( x 1 j, …, xn j ≤ C � xm j = 1 j Y( F) j = 1 X m( E m) m = 1 para todo e todas as sequências finitas,.
Neste caso, Â = in f { C que satisfazem( 1) �
O objetivo principal agora é estabelecer condições com as quais uma classe de operadores caracterizados por transformações de sequências forma um ideal, usando o ambiente abstrato de classes de sequências.
Sejam n ∈ N e X 1, …, X n, Y classes de sequências. Um operador multilinear A ∈ L E 1, …, E n; F é dito( X 1, …, X n, Y)-somante se as condições equivalentes da proposição anterior são satisfeitas por A, isto é, A( x 1 n
∞ j,…, x j ∈ Y F, j = 1 m
∞ sempre que x j ∈ Xm E j = 1 m, m = 1, …, n Neste caso escreveremos
A ∈ L X1,…, X n; Y( E 1, …, E n; F� e definimos
A X1,…, X n; Y = Â n k
L X 1 E 1,…, X n( E n); Y( F�
Com |
base |
na |
definição |
de |
operador |
absolutamente |
somante, |
segue |
imediatamente que |
|
|
� E, F p
= L lp �; l p w( ��( E; F)
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