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Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências

∞ x j j = 1 w, p

j = 1

1⁄ p

está bem definida e é uma norma em l p w( E).

Proposição 5: O par l p w E, ∥⋅∥ w, p é um espaço de Banach, quando E é um espaço de Banach.

Teorema de Dvoretsky-Rogers

Um outro teorema de vital importância para a Análise Funcional é o teorema de Dvoretsky-Rogers, que mostra que todo espaço de Banach de dimensão infinita admite uma sequência incondicionalmente somável que não é absolutamente somável. Portanto, a equivalência entre somabilidade absoluta e somabilidade incondicional para sequências em espaços de Banach caracteriza os espaços de Banach de dimensão finita.

Teorema 4: Seja E um espaço de Banach de dimensão infinita. Então, para

∞ qualquer escolha de λ j j = 1 ∈ l2 existe uma sequência incondicionalmente somável

∞ x j j = 1 em E com xn = λ n para todo n ∈ N.

∞

Em particular, se escolhermos λ j j = 1 ∈ l2 − l 1 obtemos uma sequência incondicionalmente somável que não é absolutamente somável.

está bem definido. Dizer que T� está bem definido significa dizer que a sequência

∞

T( x j � j = 1 está em lp( F�, sempre que

∞ x j j = 1

∈ lp w E

Denotamos o conjunto de todos os operadores absolutamente p-somantes de E em F por � E, F. p

Vamos apresentar agora algumas caracterizações de extrema importância para operadores absolutamente p-somantes.

Proposição 6: São equivalentes para um operador linear e contínuo T: i. T é absolutamente p-somante. ii. Existe uma constante K > 0 tal que

n

� T( x j � p j = 1

1 p

≤ K sup φ∈BE ´ n

� φ( x j � p j = 1

para todos n ∈ N e x j ∈ E, j = 1, …, n. iii. Existe uma constante K > 0 tal que

∞

� T( x j � p j = 1

1 p

≤ K sup φ∈BE ´

∞

� φ( x j � p j = 1

∞ para toda sequência x j j = 1 ∈ lp w E.

Uma pergunta que surge naturalmente: � E, F é fechado em L( E; F) p para todos os espaços de Banach E e F? De

fato, isso não ocorre. Temos a necessidade de uma norma particular nesse espaço.

Proposição 7: A função π p ∙ �:( E, F) ⟶ [ 0, ∞) p

, dada por πp T = T�, onde T� é o operador induzido, define uma

norma em � E, F com a qual ele é um espaço p de Banach.

Classes de sequências vetoriais: um ambiente abstrato

Vamos estabelecer brevemente as definições e resultados do ambiente abstrato, propostos e demonstrados por Botelho e Campos( 2015), que generalizam ideais caracterizados por transformações de sequências. As demonstrações de todos os resultados aqui apresentados estão no acima citado artigo. Fixemos alguma notação. As letras E, E 1, …, E n,

F denotarão espaços de Banach sobre K = R ou C. A sigla

BAN denotará a classe de todos os espaços de

1 p

1 p

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