Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências
A partir deste ponto, descrevemos cinco tipos de espaços de sequências a valores vetoriais. Estes espaços serão explorados em exemplos quando descrevermos o método abstrato objeto de estudo deste projeto.
Espaços das sequências nulas e eventualmente nulas
Definição 4: Seja E um espaço vetorial
∞ normado. Dizemos que uma sequência x j
∞ j = 1 é nula, se a sequência x j converge para j = 1 zero, isto é, x j → 0. Definição 5: Seja E um espaço vetorial normado. Dizemos que uma sequência
∞ x j j = 1 em E é eventualmente nula se existe j 0 natural tal que x j = 0, para todo j > j 0.
Considerando E um espaço normado, denotamos por c 0( E) o espaço de todas as sequências nulas e por c 00( E) o espaço de todas as sequências eventualmente nulas.
Espaço das sequências limitadas Definição 6: Seja E um espaço vetorial
∞ normado. Dizemos que uma sequência x j j = 1 em E é limitada se existe uma constante M ≥ 0 tal que x j ≤ M, para todo j ∈ N. O conjunto de todas as sequências limitadas em um espaço normado é denotado por
∞ l ∞ E = x j j = 1 ∈ E N ∞
: x j j = 1 é limitada em E
Se E é um espaço normado, então l ∞ E é um espaço vetorial com as operações usuais de sequências.
Proposição 2: Seja E um espaço normado qualquer, a função ∥⋅∥: l ∞ E → [ 0, ∞) dada por
∞ x j j = 1
∞ = sup j x j E
está bem definida e caracteriza uma norma em l ∞ E.
Proposição 3: O par( l ∞ E, ∥⋅∥� é um espaço de Banach, quando E é um espaço de Banach.
Espaço das sequências fortemente p-somáveis
Sejam E um espaço vetorial normado
∞ e 1 ≤ p < ∞. Uma sequência x j j = 1 em E é fortemente p-somável se
∞
� x j j = 1 p
< ∞
Denotamos l p E o espaço das sequências |
fortemente p-somáveis em E, ou seja |
∞ |
l p E = |
∞ x j j = 1
∈ E N: � x j
|
p
< ∞
|
|
j = 1 |
|
É fácil ver que com as operações usuais de sequências l p E é um espaço vetorial. Além disso, utilizando-se da desigualdade de Minkowski, pode-se provar que a função ∥⋅∥: l p E → [ 0, ∞�, dada por
∞ x j j = 1 p
j = 1
1⁄ p define uma norma em l p E.
Proposição 4: O espaço( l p E, ∥⋅∥) é um espaço de Banach, quando E é um espaço de Banach.
Espaço das sequências fracamente p-somáveis
Sejam E um espaço vetorial normado e 1 ≤ p < ∞. Dizemos que uma sequência
∞ em E é fracamente p-somável se x j j = 1 ∞
� | φ( x j)| p < ∞ j = 1
para todo φ ∈ E ´. Denotamos por l p w( E) o conjunto de todas as sequências fracamente p-somáveis em, ou seja,
|
∞ |
|
l w p E = |
∞ x j
∈ E N: � φ x j = 1 j
|
p
< ∞, ∀φ ∈ E ´
|
|
j = 1 |
|
Com as operações usuais de sequências, l p w( E) é um espaço vetorial. Também se prova, com o auxílio do Teorema do Gráfico Fechado, que a função ∥⋅∥ w, p: l p w E → [ 0, ∞�, dada por
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