Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências
ii.
T( λx) = λT( x), para todo λ ∈ K e x ∈ E
Sejam E e F espaços normados e seja T: E → F um operador linear. As seguintes afirmações são equivalentes: a) T é contínuo; b) T é contínuo na origem;
c) Existe uma constante M > 0 tal que T( x) F ≤ M x E, para todo x ∈ E;
d) T é uniformemente contínuo; e) T é limitado nos limitados; f) T é limitado em alguma bola de E.
Denotamos L( E; F) como o conjunto de todos os operadores lineares e contínuos entre espaços E e F quaisquer. É fácil mostrar que que o conjunto munido das operações de soma e produto por escalar é espaço vetorial. Da propriedade c) acima citada, podemos considerar a função ∥⋅∥: L( E; F) → R, definida por T = sup x∈BE T( x), como a norma em L( E; F). Em virtude de e), costuma-se usar a terminologia limitado para operadores lineares contínuos. Também mostra-se que:
Teorema 1: L( E; F) é completo se, e somente se, F o for.
Definimos aqui os funcionais lineares, um caso especial dos operadores lineares.
Definição 2: Um funcional linear em E( ou sobre E) é um operador linear φ: E → K em que K é um corpo de escalares. O espaço L E; K ∶ = E ´ é chamado de espaço dual de E.
Em virtude do teorema anterior, temos que E ´ é um espaço completo para qualquer espaço E.
Espaços de Banach
Um espaço de Banach, nomeado dessa forma em homenagem ao matemático polonês Stefan Banach, é um espaço vetorial munido de uma norma cuja métrica induzida, que permite o cálculo do comprimento do vetor e da distância entre dois vetores, o torna completo, no sentido de que toda sequência de Cauchy converge para um elemento do espaço. Mais resumidamente:
Definição 3: Um espaço normado E é dito de Banach quando é completo na métrica d x, y = x − y, ∀ x, y ∈ E, induzida pela norma. Como mostra proposição abaixo, subespaços fechados de um espaço de Banach
E têm uma importância particular.
Proposição 1: Sejam E um espaço de Banach e F um subespaço de E. Então, uma condição necessária e suficiente para que F seja um espaço de Banach é que F seja fechado em E.
Teorema do gráfico fechado
O teorema do gráfico fechado estabelece uma relação entre a continuidade de um operador linear e o fato de seu gráfico ser um conjunto fechado.
Teorema 2: Sejam E, F espaços de Banach e T: E → F um operador linear. Então,
T é contínuo se, e somente se, o gráfico de T, isto é, o conjunto
G T = x, T( x): x ∈ E ⊂ E × F, é fechado em E × F.
Teorema de Hahn-Banach
Demonstrado no final da década de 1920 por Hans Hahn e Stefan Banach, este teorema é essencial em Análise Funcional pois permite realizar uma extensão de funcionais lineares limitados, definidos em um subespaço de algum espaço vetorial, para todo o espaço. A seguir apresentaremos o teorema Hahn-Banach para o caso particular( e de nosso interesse) dos espaços normados.
Teorema 3: Seja E um espaço normado. Para todo x ∈ E tal que x ≠ 0 existe um funcional linear φ ∈ E ´ tal que φ = 1 e φ( x) = x.
Um corolário importante deste teorema é que dado E um espaço normado, com E ≠ { 0 }, e x ∈ E, então
x = sup φ∈BE ´ φ x = max φ x: φ ∈ E ´ e φ = 1,
o que se traduz numa caracterização“ dual” para a norma de um vetor.
Série Iniciados v. 23
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