Generalização de ideais de operadores caracterizados por transformações de sequências
Algumas importantes classes de operadores lineares entre espaços de Banach são definidos, ou caracterizados, por transformações de sequências vetoriais. Um dos exemplos mais conhecidos destas classes é a dos operadores absolutamente somantes. Dizemos que um operador linear T: E → F continuo absolutamente p-somante, se
T transforma sequências fracamente p-somáveis de E em sequências p-somáveis em F. Veja os trabalhos( DEFANT; FLORET, 1993),( DIESTEL; JARCHOW; TONGE, 1995) e( PIETSCH, 1980) para estudos profundos na teoria de operadores entre espaços de Banach.
O estudo das classes de sequências vetoriais como os espaços das sequencias limitadas, fortemente p-somáveis e fracamente p-somáveis, bem como de várias outras classes, cada qual com suas propriedades, caracterizam muitos tipos de ideais de operadores lineares e multilineares( ver( PIETSCH, 1980 e 1984)), estes últimos também chamados de multi-ideais, conhecidos e amplamente estudados, de maneira individual, na literatura. O objetivo deste projeto foi realizar um estudo, bem como uma aplicação, do método abstrato introduzido por Botelho, Campos e Santos( 2015), que gera ideais de operadores lineares e multilineares caracterizados por meio de transformações de sequências. A importância deste método emerge do fato de que este recupera os ideais comumente estudados na literatura como casos particulares e provê caracterizações e resultados para novas classes. Essa característica de unificação da abordagem abstrata, objeto de estudo do projeto, é uma tendência recente em Análise Funcional no estudo da teoria de ideais de operadores.
Fundamentação teórica
Para Silva( 2008), a Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles, em essência sob a hipótese de dimensão finita dos espaços.“ Seguindo essa linha, podemos definir a Análise Funcional como o estudo dos espaços vetoriais normados, em especial os espaços de Banach, e dos operadores lineares contínuos entre eles”( BOTELHO; PELLEGRINO; TEIXEIRA, 2015), não necessariamente em dimensão finita.
Nesta seção apresentamos todo o conteúdo estudado e desenvolvido ao longo do período de vigência do projeto. Começaremos por alguns conceitos preliminares básicos para os nossos estudos, cujas demonstrações podem ser encontradas em qualquer bom livro de Análise Funcional como o próprio( BOTELHO; PELLEGRINO; TEIXEIRA, 2015).
Norma
Iniciamos os nossos estudos relembrando o conceito de norma. Seja E um espaço vetorial. Uma norma em E é uma aplicação
∥⋅∥: E → 0, + ∞ x ↦ x E
que satisfaz as seguintes condições: |
I. |
x E ≥ 0, para todo x ∈
E;
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II. |
x E = 0 se, e somente se x = 0; |
III. |
λx E = λ |
x E, para todo λ ∈ K e |
x ∈ E; |
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IV. |
x + y E ≤ |
x E + |
y E, para todos |
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x, y ∈
E.
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Um espaço vetorial munido de uma norma é chamado de espaço vetorial normando, ou simplesmente espaço normado. Usamos a notação( E, x E).
Operadores lineares
Apresentamos a definição e alguns resultados básicos sobre operadores lineares que, no sentido que explicitamos anteriormente, é um dos objetos de nossos estudos.
Definição 1: Sejam E e F espaços normados. Uma aplicação T: E → F é dita linear se satisfaz:
i. T( x + y) = T( x) + T( y), para todos x, y ∈ E
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