sistemas de numeracio y algebra de boole ap1 | Page 8

Apéndice 1. Algebra de Boole
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Principio de dualidad: Si una ecuación booleana es válida, también lo será la ecuación
dual.
Observaciones:
Los postulados 3 al 7 se muestran en parejas de ecuaciones duales.
Los teoremas también se plantean en parejas de ecuaciones duales.
Nótese que una variable no se complementa para formar la expresión dual.
Este es un teorema acerca de teoremas. Plantea que cualquier teorema que pueda ser
demostrado, también podrá ser demostrado para la proposición dual. Esto puede
observarse en la demostración de una proposición, cambiando cada línea por su
expresión dual, lo que lleva a la demostración del dual de la proposición original.
Antes de obtener el dual de una expresión, conviene asociar los operandos con los
operadores que les corresponden, mediante el uso de paréntesis: A B + C debe
interpretarse, según convenios algebraicos tradicionales, como: (A B) + C; en este caso,
la expresión dual es: (A + B) C. Si se determina directamente la expresión dual,
mediante el procedimiento de cambiar el or por and y viceversa, se obtendría
erróneamente: A + B C.
En el álgebra de Boole los operadores ( , + ) tienen igual jerarquía. Y es necesario
emplear paréntesis para asociar correctamente los operandos con el operador.
En el lenguaje C, el operador !, la negación lógica, es un operador unario que tiene la
más alta precedencia; luego viene el &, el and; después el ^, el or exclusivo; después el
|, el or. La precedencia indica que un operador de mayor precedencia toma sus
operandos antes que uno de menor precedencia; de esta forma pueden escribirse,
generalmente, operaciones lógicas sin emplear paréntesis.
A1.5. Teoremas
T.8 Idempotencia.
a a a
a a a
(T8)
Demostración de la primera proposición.
a
= a
;P2
= a + 0
;P3
= a + ( a a’ )
;P7
= ( a + a )( a + a’ )
;P6
= ( a + a ) 1
;P7
= a + a
;P3
Profesor Leopoldo Silva Bijit
03-04-2010