sistemas de numeracio y algebra de boole ap1 | Page 10

Apéndice 1. Algebra de Boole
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(ab) + (ab)’ = 1
(ab) (ab)’ = 0
Por otro lado tenemos:
(ab)(a’ +b’)
= ( ab )( a’+b’ )
= aba’ + abb’
= 0 b + a 0
= 0 + 0
= 0
T12.a
;P2
;P6
;P4, P7 y P5
;T9
;P3
También tenemos que:
(ab) + (a’ +b’) = (ab) + (a’ + b’)
;P2
= (a' + b') + (ab)
;P4
= ((a’ +b’) + a)((a’ +b’) + b) ;P6
= ((a +a') + b')( a' + (b + b')) ;P4 y P5
= ( 1 +b’)(a’ +1)
;P7
= (1)(1)
;T9
= 1
;P3
T12.b
T12.c
Entonces de T12.a, T12.b y T12.c, y empleando P2, se logra:
(ab)’ = (a’ + b’)
Generalización de De Morgan:
f ’(x1, x2, ..., xn, 0, 1, +, ) = f(x1’, x2’, ..., xn’, 1, 0, , +)
Puede emplearse la inducción perfecta para demostrar en forma más simple las leyes de De
Morgan. Basta desarrollar las tablas de verdad.
Inducción completa o perfecta.
Aristóteles, y otros después de él, emplearon este nombre para designar un razonamiento
cuyas premisas enumeran todos los miembros de la clase a la que se refiere su conclusión. La
conclusión deriva necesariamente de las premisas, ya que sólo expresa lo que en éstas se hallaba
contenido. Se trata, pues, de una deducción.
Se basa en la enumeración completa, en la que se deben contar todos los casos de una clase
determinada y enunciar sus resultados en una conclusión general. La conclusión acerca de todos
los elementos de una clase se deduce a partir de premisas que se refieren a los casos
observados. La inducción perfecta permite obtener información fidedigna.
Sin embargo, en la solución de la mayoría de los problemas no puede emplearse este tipo de
enumeración ya que no es posible examinar todos los casos a que se refiere una conclusión;
esto se hace evidente al aumentar el número de variables, ya que el número de renglones crece
en forma exponencial con el número de variables.
El empleo de tablas de verdad es un ejemplo de aplicación de inducción perfecta.
Demostración de la segunda proposición de T12, mediante tabla de verdad.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
03-04-2010