Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 52

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Ciencias Físicas, Agropecuarias, Matemáticas e Ingeniería
de primo, irreducible (o átomo), UFD,
HFD, FFD y definieron los respecti-
vos conceptos de τ-primo, τ-átomo,
τ-UFD, τ-HFD, τ-FFD, además,
estudiaron las conexiones entre estos
nuevos tipos de dominios y observaron
la necesidad de crear nuevos tipos de
relaciones, que llamaron relaciones
divisivas, que preservan asociados y
multiplicativas. En forma resumida,
una relación simétrica τ es divisiva si
cuando aτb y a’|a, entonces a’τb, la
relación preserva asociados si cuando
aτb y a’ ~ a, entonces a’τb y la relación
es multiplicativa si cuando aτb y aτc,
entonces aτbc. Las conexiones obteni-
das entre estos tipos de dominios se
resumen en la Figura 2.
Para propósitos de este trabajo, se
redefinieron los conceptos de rela-
ciones divisivas, que preservan asocia-
dos y multiplicativas, con el objetivo
de que las definiciones sean compati-
bles con relaciones no necesariamente
simétricas.
Definición 3. Sean a, a’, b, b’, c  ∈  D#
y τ una relación (no necesariamente
simétrica) sobre D#.
1. Se dice que τ es divisiva por la izqui-
erda (derecha), si aτb y a’|a (respec-
tivamente b’|b), entonces a’τb
(Resp. aτb’). Si τ es divisiva por la
izquierda y por la derecha, entonces
se dice que τ es divisiva.
2. Se dice que τ preserva asociados
por la izquierda (derecha), si a ~ c
(Resp. b ~ c) y aτb, entonces cτb
(Resp. aτc). Si τ preserva asociados
por la izquierda y por la derecha, se
dice que τ preserva asociados.
3. Se dice que τ es multiplicativa por
la izquierda (derecha), si aτc y bτc
(Resp. aτb y aτc), entonces abτc
(Resp. aτbc). Se dice que τ es multi-
plicativa, si es multiplicativa por la
izquierda y por la derecha.
Observe que la principal diferencia de
estas definiciones con las originales
es que ahora no se requiere que la rel-
ación τ sea simétrica. A manera de ilus-
tración, considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Dado un dominio integral
D, considere la relación τ  ⊆ dada por
aτ  ⊆  b si y solo si (a)  ⊆  (b)  ⊊  D ( (a)
denota el ideal generado por a). Esta
relación es claramente reflexiva, transi-
tiva y antisimétrica.
Por lo tanto, es un orden parcial, pero
no total porque existen ideales prin-
cipales no comparables. Por ejemplo,
en ℤ los ideales (p) y (q) no son com-
parables si p y q son primos no aso-
ciados. No es divisiva por la derecha
ni por la izquierda. Por ejemplo, en
ℤ[x], x 6 τ  ⊆  x 3 , x 2 |x 3 y x 2 |x 6 pero (x 2 ) ⊈
Figura 2
Propiedades de las τ-estructuras (* significa que τ es divisiva), (Anderson y
Frazier, 2011).
UFD
FFD
BFD
ACCP
atómico
*
*
τ-FFD
τ-UFD
*
τ-BFD
τ-HFD
*
τ-ACCP
*
τ-atómico
(x 3 ) y (x 2 ) ⊈ (x 6 ), por lo tanto (x 2 , x 3 ) ∉
τ  ⊆ y (x2, x6) ∉ τ  ⊆. Preserva asocia-
dos por la izquierda y por la derecha,
dado que si a ~ a’, entonces (a) = (a’).
Es multiplicativa por la izquierda, pero
no por la derecha. Por ejemplo, en ℤ,
(8)  ⊆  (4) pero (8) ⊈ (4⋅4) = (16). Es
decir, (8, 4)  ∈  τ  ⊆ , pero (8, 4 ⋅ 4) ∉ τ  ⊆  .
Resultados sobre
composiciones
Como se mencionó en la introducción,
se pretende estudiar τ-factorizaciones
cuando τ = τ 1 ○ τ 2 . Se analiza esta situ-
ación estudiando cuando los facto-
res τ 1 , τ 2 le trasladan propiedades a la
composición τ 1 ○ τ 2 , la razón de esto se
puede observar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Suponer que D es
∈  
D un elemento
UFD y p 
primo. Considerar dos relaciones
τ 1 ={(p,±p)} y τ 2 ={(±p,p)}, entonces
τ 1 ○ τ 2 ={(±p,±p)}. Observe que τ 1 ○ τ 2
es una relación simétrica, pero τ 1 y τ 2
no lo son, τ 1 ○τ 2 es divisiva, pero τ 1 y
τ 2 solo son divisivas por la izquierda y
la derecha, respectivamente. Por otro
lado, si τ 1  = τ 2  = {(±p, ±p)}, entonces
τ1 ○ τ2 = {(±p, ±p)}. Esta falta de uni-
cidad en los factores de la composición
hace que este punto de vista sea menos
conveniente.
La composición no se comporta de la
manera esperada respecto a los tipos
clásicos de relaciones, la única propie-
dad que se preserva es la reflexividad.
Proposición 1. Si τ 1 (τ 2 ) es reflexiva,
entonces τ 2   ⊆  τ 1 ○ τ 2 (Resp. τ 1   ⊆  τ 1 ○ τ 2 ).
Si ambas son reflexivas, entonces τ 1 ○ τ 2
y τ 2 ○ τ 1 también lo son.
Para los demás casos, se encontraron
contraejemplos que muestran que las
demás propiedades no se cumplen y
los conversos tampoco. Para mostrar
un caso, consideremos las relaciones
de equivalencia, que generalmente se