Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 53

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consideran relaciones que presentan
“buen comportamiento”.
Ejemplo 3. Considere en ℤ# las
particiones:
P 1 =(ℤ − \{−1}) ∪ {2} ∪ ( ℤ + \{1,2})
P 2 =(ℤ − \{−1}) ∪ {2,3} ∪ (ℤ + \{1,2,3})
Estas particiones generan las siguien-
tes dos relaciones de equivalencia τ 1 y
τ 2 , dadas por:
τ 1 = { ( n 1 , n 2 ) , ( 2 , 2 ) , ( p 1 , p 2 ) : n 1 , n 2 ∈ ( ℤ − \
{−1}), p 1 , p 2   ∈  (ℤ +  \{1, 2})},   y
τ 2 ={(m 1 ,m 2 ),(2, 2),(3, 3),(2, 3),(3, 2),(q 1 , q 2 )}
con m 1 ,m 2 ∈ (ℤ − \{−1}) y q 1 , q 2   ∈  (ℤ + \{1, 2, 3})
Observe que (2, 5)  ∈  τ 1 ○ τ 2 , pero (5, 2)
∉ τ 1 ○ τ 2 ; porque por las definiciones
de τ 1 y τ 2 , no existe un entero x tal que
5τ 2 x y xτ 1 2. Por lo tanto, τ 1 ○ τ 2 no es
una relación de equivalencia.
Para las propiedades relacionadas a
τ-factorizaciones, observamos que
ser divisivas y preservar asociados se
preservan bajo la composición, pero la
propiedad multiplicativa no lo hace.
Proposición 2. Sean τ 1 y τ 2 relaciones
sobre D # .
1. Si τ 2 es divisiva por la izquierda,
entonces τ 1 ○ τ 2 es divisiva por la
izquierda.
2. Si τ 1 es divisiva por la derecha,
entonces τ 1 ○ τ 2 es divisiva por la
derecha.
3. Si τ 1 es divisiva por la derecha y τ 2 es
divisiva por la izquierda, entonces
τ 1 ○ τ 2 es divisiva. Por ende, si τ 1 y τ 2
son divisivas, entonces τ 1 ○ τ 2 y τ 2 ○ τ 1
son divisivas.
Demostración. (1) Sean a, b, a’  ∈  D
#
tales que a’|a y aτ 1 ○ τ 2 b. Por la defin-
ición de composición, existe un c  ∈  D # ,
tal que aτ 2 c y cτ 1 b. Como τ 2 es divisiva
por la izquierda, a’τ 2 c y por lo tanto
a’τ 1 ○ τ 2 b. Es decir, τ 1 ○ τ 2 es divisiva por
la izquierda.
(2) Si a, b, b’  ∈  D # son tales que b’|b
y aτ 1 ○ τ 2 b. Por la definición de com-
posición, existe un c  ∈  D # tal que aτ 2 c y
cτ 1 b. Como τ 1 es divisiva por la derecha,
se tiene que cτ 1 b’. Por lo tanto, aτ 1 ○ τ 2 b’
y τ 1 ○ τ 2 es divisiva por la derecha.
(3) Esto es consecuencia inmediata de
los incisos (1) y (2).
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Los resultados de esta sección se resu-
men en las tablas 1, 2 y 3. En las casillas
centrales se indica si el hecho de que los
factores τ 1 y τ 2 tengan las propiedades
divisivas, divisiva por la izquierda o
divisiva por la derecha, implique que
la composición τ 1 ○ τ 2 también lo haga.
Debido a Anderson y Frazier (2011),
se sabe que las relaciones que son divisi-
vas también preservan asociados, luego
en las tablas se puede sustituir “divi-
siva” por “preserva asociados”. Para el
caso de las relaciones multiplicativas, el
siguiente ejemplo muestra que la com-
posición no lo es, aun cuando ambos
Tabla 1
Cuando τ 1 ○τ 2 es divisiva.
τ 1 ○ τ 2
τ 2
τ 1
Divisiva Div. por la Izq. Div. por la Der.
Divisiva Divisiva No divisiva Divisiva
Div. por la Izq. Divisiva No divisiva Divisiva
Div. por la Der. No divisiva No divisiva No divisiva
Tabla 2
Cuando τ 1 ○τ 2 es divisiva por la izquierda.
τ 1 ○ τ 2
τ 2
τ 1
Divisiva Div. por la Izq. Div. por la Der.
Divisiva Divisiva Divisiva No divisiva
Div. por la Izq. Divisiva Divisiva No divisiva
Div. por la Der. Divisiva Divisiva No divisiva
Tabla 3
Cuando τ 1 ○τ 2 es divisiva por la izquierda.
τ 1 ○ τ 2
τ 2
τ 1
Divisiva Div. por la Izq. Div. por la Der.
Divisiva Divisiva Divisiva Divisiva
Div. por la Izq. No divisiva No divisiva No divisiva
Div. por la Der. Divisiva Divisiva Divisiva