Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 51

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tratar de factorizar una relación. Este
documento se enfocó más en la prim-
era forma y detalla algunos elementos
de su complejidad, además de observar
cómo se comportan sus factores, medi-
ante muchos ejemplos. Para poder tra-
bajar con este concepto, se verifica qué
propiedades en específico se pueden
obtener a partir de las relaciones dadas.
Conceptos Básicos
Dados A, B  ⊆  D # , el producto carte-
siano de A y B se denota y define por
A × B = {(a, b): a  ∈  A,  b  ∈  B}. Una
relación binaria R de A a B es un sub-
conjunto de A × B. Al conjunto A se le
conoce como dominio de R y se denota
por Dom(R), al conjunto B se le con-
oce como codominio de R y se denota
como Codom(R). La coimagen de R
se define como Coim(R) = {a  ∈  A :
( ∃ b  ∈  B)((a, b)  ∈  R)} y la imagen de
R se define como Im(R) = {b  ∈  B:
( ∃ a  ∈  A)((a, b)  ∈  R)}. Estudiamos los
tipos clásicos de relaciones: reflexivas,
simétricas, transitivas, de equivalencia
y de orden; todas estas definidas en
la forma usual. La definición de com-
posición de relaciones es la siguiente.
Definición 1. Sean R 1 , R 2 dos rel-
aciones sobre A, se define la com-
posición R 1 ○ R 2 como la relación dada
por aR 1 ○ R 2 b si y solo si existe c  ∈  A tal
que aR 2 c y cR 1 b. A R 1 y R 2 se les conoce
como factores de la relación R 1 ○ R 2 .
Note que la composición de rel-
aciones
no
es
conmutativa,
Coim(R 1 ○ R 2 )  ⊆  Coim(R 2 ) e Im
(R 1 ○ R 2 )  ⊆  Im(R 1 ). Dada una rel-
ación R en A, se define la relación
inversa R −1 de R dada por aR −1 b si y
solo si bRa. Observar que de las defi-
niciones de imagen y coimagen se
obtiene que Coim(R) = Im(R −1 ) e
Im(R) = Coim(R −1 ). Dado un con-
junto A y S  ⊆  A, se define la diagonal
o identidad en S por idS = {(a, a) :
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Figura 1
Conexión entre tipos de dominios, Anderson et. al. (1990).
HFD
UFD
FFD
BFD
ACCP
atómico
idf-domain
a  ∈  S}. Note que idIm(R)  ⊆  R ○ R −1 y
idCoim(R)  ⊆  R −1 ○ R.
Sea D un dominio integral, U(D) el
conjunto de elementos invertibles
o unidades de D y D # el conjunto de
elementos distintos de cero que no
son unidades de D. Un producto
a = λa 1 a 2 ⋯ an es llamado una τ-fac-
torización de a  ∈  D # , si se cumple que
aiτaj para todo i ≠ j y λ  ∈  U(D). A los
elementos ai se les llama τ-factores de a
y a es llamado un τ-producto de los ai.
Note que si τ = D #  × D#, las τ-factor-
izaciones y las factorizaciones usuales
en D coinciden. Otro ejemplo de rel-
evancia es cuando τ = S × S, donde
S  ⊂  D # es un conjunto de elementos
distinguidos de D # .
Los algebristas se han interesado por
estudiar estructuras menos exigentes
que la de dominio de factorización
única (UFD, por sus siglas en inglés),
por ejemplo, un dominio D se deno-
mina atómico, si todos sus elementos
se pueden expresar como producto
finito de elementos irreducibles. Otras
estructuras que han resultado impor-
tantes son las siguientes (ver Anderson
y Frazier (2011) para más detalles):
1. Dominio de factorización acotada
(BFD, por sus siglas en inglés).
2. Dominio con la condición de
cadenas ascendentes de ideales
principales (ACCP, por sus siglas
en inglés).
3. Dominio factorial a mitad (HFD,
por sus siglas en inglés).
4. Dominio con elementos con una
cantidad finita de divisores irreduc-
ibles (“idf-domain”, por sus siglas en
inglés).
5.
Dominio con finitas factor-
izaciones (FFD, por sus siglas en
inglés).
Las conexiones entre estos conceptos
fueron estudiadas por D.D. Anderson,
D.F. Anderson y Zafrullah (1990) y
se pueden resumir en la Figura 1. Los
autores no solo demostraron las impli-
caciones si no que los conversos no se
cumplen.
El trabajo de McAdams y Swan (2004)
motivó a Anderson y Frazier (2011)
a definir el concepto de τ-factor-
izaciones, área que llamaron teoría de
factorizaciones generalizadas. La defin-
ición de este concepto fue la siguiente:
Definición 2. (Anderson y Frazier,
2011) Sea τ una relación simétrica
sobre D # . Entonces se dice que
a = λa 1 a 2 ⋯ an es una τ-factorización
para a  ∈  D # , si a i τa j para todo i ≠ j y
λ  ∈  U(D).
Los autores adaptaron los conceptos