| Ψ 〉 = cos( θ— 2) | 0 〉 + e iφ sin( θ— 2) | 1 〉, θ ∈ [ 0, π ], φ ∈ [ 0, 2π ]( 1)
La sphère de POINCARÉ COMPRENDRE
UTILISATION DE LA SPHÈRE DE POINCARÉ EN PHYSIQUE QUANTIQUE: LA SPHÈRE DE BLOCH
Au-delà de son usage pour représenter les états de polarisation de la lumière, une construction analogue à la sphère de Poincaré est également utilisée pour représenter l’ état de systèmes quantiques « à deux niveaux ». Dans ce contexte, elle est plus couramment connue sous le nom de sphère de Bloch, en l’ honneur de Félix Bloch. Un système quantique à deux niveaux peut être décrit par des vecteurs complexes normés de dimension deux qui représentent la superposition entre deux états quantiques orthogonaux. Ceci peut être rapproché d’ une version normalisée du vecteur de Jones, autre formalisme classique utilisé en polarisation [ 1 ] et reposant sur l’ utilisation des amplitudes complexes A x et A y du champ. On peut donner comme exemples de tels systèmes, les états de polarisations verticale et horizontale pour un photon, les états fondamental et excité d’ un atome, ou encore les états spin « up » et « down » d’ un électron. Dans le contexte du calcul quantique, ces différents systèmes sont des exemples de « bit quantique », on note alors traditionnellement les états de base | 0 〉 =( 1 0) et | 1 〉 =( 0 1), par analogie avec les deux états possibles d’ un bit classique. Un état générique | Ψ 〉 peut alors s’ écrire à une phase globale près:
| Ψ 〉 = cos( θ— 2) | 0 〉 + e iφ sin( θ— 2) | 1 〉, θ ∈ [ 0, π ], φ ∈ [ 0, 2π ]( 1)
en analogie totale avec le formalisme de Jones. On peut donc représenter sur une sphère les états quantiques possibles d’ un bit quantique, ainsi que les opérations qu’ on peut faire sur cet objet. Comme pour l’ état de polarisation, l’ intérieur de la sphère de Bloch a une interprétation en termes d’ états imparfaitement connus, on parle de mélanges statistiques pour l’ intérieur de la sphère et d’ états purs pour les états à la surface de la sphère de Bloch. On peut visualiser ces mélanges comme « l’ état moyen » produit par une expérience qui génère aléatoirement des états purs bien choisis. Par exemple, l’ état au centre de la sphère peut être vu comme résultant de la production d’ un état | 0 〉 ou | 1 〉 avec probabilité 1 / 2. On peut représenter un état quelconque par un vecteur analogue au vecteur de Stokes réduit qu’ on appelle vecteur de Bloch V∙. Les composantes de ce vecteur s’ obtiennent en mesurant la valeur moyenne de la projection de l’ état suivant les trois directions particulières | X 〉 / |– X 〉, | Y 〉 / |– Y 〉 et | Z 〉 / |– Z 〉, de la même façon que le vecteur de Stokes est construit en mesurant l’ intensité( et donc une moyenne) pour des polarisations verticale / horizontale, linéaire à 45 ° / linéaire à 135 ° et circulaires gauche / droite. La norme carrée du vecteur de Bloch s’ appelle la pureté avec une interprétation similaire à celle du degré de polarisation pour le cas du vecteur de Stokes, plus elle est proche de 1 et plus l’ état est pur.
Figure B: Représentation de la sphère de Bloch avec un vecteur de Bloch générique. Les paires de points antipodaux représentent les issues possibles des mesures suivant les axes X, Y et Z. représenter géométriquement un état de polarisation quelconque à partir de 3 paramètres: le degré de polarisation P, l’ azimut α – appelé aussi angle de polarisation – et l’ ellipticité ε. Ainsi, les états associés à une lumière totalement polarisée( P = 1) se trouvent à la surface de la sphère de rayon 1. Une lumière totalement dépolarisée sera représentée par un point au centre de la sphère( P = 0) et tout état partiellement polarisé par un point à l’ intérieur de la sphère( vecteur de norme P). L’ équateur( ε = 0) correspond au domaine des états linéaires( S 3 = 0). Les états circulaires( S 1 = S 2 = 0) se trouvent sur les pôles( ε = ± π— 4
). Le reste de la sphère représente les états elliptiques.
Compte-tenu des conventions choisies ici, l’ hémisphère nord( ε > 0) est le domaine des états « gauches »( le champ électrique tourne dans le sens trigonométrique quand la lumière se propage vers l’ observateur) et l’ hémisphère sud( ε < 0) le domaine des états « droits »( le champ électrique tourne dans le sens horaire quand la lumière se propage vers l’ observateur). Il est aussi intéressant de noter le facteur 2 qui existe entre les angles dans le plan de l’ ellipse de polarisation et sur la sphère de Poincaré. Ainsi, un état de polarisation linéaire orienté d’ un angle α par rapport à l’ horizontale se situera sur l’ équateur à un angle 2α par rapport à l’ axe OS 1. De manière analogue, deux états orthogonaux sont représentés par deux points diamétralement opposés( antipodaux) sur la sphère de Poincaré.
MODIFICATION D’ UN ÉTAT DE POLARISATION Dès 1892, Henri Poincaré s’ appuyait sur la sphère pour expliquer des effets tels que le pouvoir rotatoire ou la biréfringence de lames cristallines. Néanmoins, la représentation vectorielle des paramètres de Stokes au travers du vecteur de Stokes réduit introduit à la première section permet de définir un cadre algébrique phénoménologique plus général pour modéliser la modification d’ un état de polarisation [ 1 ].
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