COMPRENDRE
La sphère de POINCARÉ
( a)( b)
Figure 2.( a) Effet d’ un polariseur linéaire sur un état de polarisation: quel que soit l’ état incident( en bleu) l’ état en sortie se trouve sur la surface de la sphère et aligné avec l’ état propre du polariseur( en rouge).( b) Effet d’ un retardateur variable linéaire sur un état incident S in. L’ axe en tiret relie les deux états propres du retardateur sur la sphère de Poincaré. L’ effet du retardateur correspond à une rotation autour de cet axe d’ un angle égal au déphasage du retardateur. Les couleurs du cercle donnent la position du vecteur S out en fonction du déphasage( ou retardance) du retardateur.
Ce cadre a été introduit par Hans Mueller dans un cours au MIT en 1946 [ 4 ] et permet de modéliser cette modification de l ' état de polarisation comme une transformation géométrique dans l’ espace de la sphère de Poincaré. Deux exemples de composants sont particulièrement intéressants pour illustrer l’ utilité de la sphère de Poincaré dans ce cas. Tout d’ abord, les polariseurs idéaux, qui réalisent une transformation correspondant à une projection sur leur état propre( leur « axe » pour les polariseurs linéaires). Quel que soit l’ état d’ entrée, l’ état de la lumière en sortie d’ un tel composant est totalement polarisé et est représenté par un point à la surface de la sphère de Poincaré correspondant à l’ état propre du polariseur( cf. Figure 2a). Autre type de composants, les retardateurs, comme les lames de phase par exemple, qui introduisent un déphasage entre deux états propres. On montre que cette fonction optique correspond à réaliser une rotation sur la sphère de Poincaré d’ un angle donné par le déphasage( ou retardance) de la lame autour de l’ axe qui relie les deux états propres du composant sur la sphère( cf. Figure 2b). Ces considérations servent de fondement à la modélisation et à la réalisation de systèmes permettant de générer n’ importe quel état totalement
Figure 3. Génération d’ un état de polarisation quelconque à partir d’ un état polarisé linéairement( S in) et de deux composants à retard variable. La lumière passe ensuite à travers un premier retardateur dont les axes sont à 22,5 ° de l’ état linéaire et entraîne une rotation du point S in vers le point S int. La lumière passe ensuite à travers un second retardateur dont les axes sont à 45 ° du précédent et qui entraîne une rotation du point S int vers le point S out, état final généré par le système.
RÉFÉRENCES
[ 1 ] J. Fade, M. Boffety et V. Devlaminck, Photoniques 109, 57( 2021) [ 2 ] W. Swindell, Polarized Light, Dowden, Hutchinson & Ross( 1975) [ 3 ] D. H. Goldstein, Polarized light, Marcel Dekker( 2003) [ 4 ] N. G. Parke, J. Math. Phys. 28( 1949) polarisé( appelés généralement polarization state generator ou PSG). En effet, deux paramètres angulaires permettant de décrire complètement la sphère( α et ε), il suffit de concevoir un système ayant deux degrés de liberté autorisant deux rotations indépendantes sur la sphère. Ainsi, la majorité des PSG sont constitués d’ une source associée à un polariseur( généralement linéaire, état initial sur l’ équateur de la sphère) et combinée avec deux déphaseurs mobiles( généralement des lames de phase rotatives, déphasage fixe mais axes variables) ou deux éléments à retard variable( comme des cristaux liquides, déphasages variables mais axes fixes orientés à 45 ° les uns des autres) [ 2 ]. Cette combinaison permet de partir d’ un point sur l’ équateur de la sphère et d’ arriver à n’ importe quel point de la sphère par l’ enchaînement de deux rotations d’ axes perpendiculaires l’ un à l’ autre( Figure 3).
CONCLUSION Outil formel développé il y a plus de 130 ans, la sphère de Poincaré est aujourd’ hui largement utilisée dans la littérature scientifique pour représenter les états de polarisation ou les effets d’ un milieu sur ces états. L’ algèbre qui y est associée fait l’ objet d’ une recherche riche et active. Par exemple, des résultats importants sur la conception de systèmes sont obtenus en étudiant comment les états propres de ces systèmes discrétisent la surface de la sphère de Poincaré. Ces résultats permettent ainsi la mise en place d’ un cadre théorique permettant d’ étudier l’ optimalité d’ un système d’ acquisition en fonction de l’ application et des contraintes expérimentales.
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