COMPRENDRE
La sphère de POINCARÉ
n’ est donc plus possible. On préfère alors utiliser le formalisme de Stokes qui, pour décrire un état de polarisation, s’ appuie sur les 4 paramètres introduits en 1852 par Georges Gabriel Stokes 40 ans avant que Jules Henri Poincaré ne développe sa représentation sphérique des états de polarisation [ 2 ]. Ces paramètres sont des grandeurs réelles accessibles via des mesures d’ intensité simples:
{
S 0 = I 0 ° + I 90 ° S 1 = I 0 ° – I 90 °
( 3)
S 2 = I 45 ° – I – 45 ° S 3 = I cGauche – I cDroite
où le terme S 0 correspond à l’ intensité totale de l’ onde et les autres termes décrivent les caractéristiques polarimétriques de l’ onde( linéaire à 0 ° ou 90 ° pour S 1, linéaire à ± 45 ° pour S 2 et circulaire gauche ou droite pour S 3) [ 3 ]. De plus, le formalisme de Stokes permet l’ introduction du degré de polarisation P:
√— S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 P =—, avec 0 ≤ P ≤ 1
S 0
qui décrit à quel point la lumière est polarisée. Un degré de polarisation de 1 indique un état purement polarisé décrit par l’ ellipse de polarisation. Un degré de polarisation de 0 correspond à une lumière totalement dépolarisée pour laquelle la trajectoire du champ électrique est complètement aléatoire. On peut alors montrer [ 3 ] que, pour une lumière de degré de polarisation P, les paramètres de Stokes s’ expriment sous la forme:
{
S 1 = S 0 P cos2α cos2ε S 2 = S 0 P sin2α cos2ε S 3 = S 0 P sin2ε
où α et ε sont l’ azimut et l’ ellipticité de l’ ellipse de polarisation associée à l’ état de la lumière si celle-ci devait avoir un degré de polarisation égal 1. Ces trois paramètres permettent alors de définir le vecteur v = [ S 1 / S 0, S 2 / S 0, S 3 / S 0 ], de norme P, appelé vecteur de Stokes réduit, correspondant aux coordonnées sphériques de l’ état de polarisation dans un espace qui n’ est autre que celui de la sphère de Poincaré( cf. Figure 1b).
REPRÉSENTER UN ÉTAT DE POLARISATION SUR LA SPHÈRE DE POINCARÉ La sphère de Poincaré constitue alors un outil pratique et naturel pour
CONSTRUCTION HISTORIQUE DE POINCARÉ
L’ introduction par Poincaré de la représentation des états de polarisation sur une sphère qui porte aujourd’ hui son nom s’ est semble-t-il faite de façon indépendante des travaux de Stokes. En effet, si aujourd’ hui la sphère de Poincaré est largement associée aux paramètres de Stokes, Poincaré ne semblait pas connaître les travaux de son prédécesseur [ 2 ] et sa construction s’ appuyait sur des arguments géométriques simples à partir d’ une représentation dans le plan complexe du champ électromagnétique. L’ idée consiste à représenter dans le plan complexe le ratio des amplitudes complexes du champ électrique [ 1 ]: A x / A y = u + iν, qui est indépendant de l’ intensité totale et de la phase globale de l’ onde. Dans ce plan représenté en Figure A l’ axe ν = 0, en rouge, correspond à l’ ensemble des polarisations linéaires; en effet, pour une polarisation linéaire il n’ y a pas de déphasage entre les directions de polarisation suivant x et y donnant une partie imaginaire nulle pour le ratio A x / A y. En particulier, l’ origine du repère correspond à une polarisation linéaire verticale( A x = 0), alors que la polarisation linéaire horizontale( A y = 0) se trouve « à l’ infini ». L’ axe u = 0 en bleu, représente quant à lui l’ ensemble des polarisations elliptiques d’ azimut nul, c’ est-à-dire dont les axes propres sont alignés avec les axes x et y de référence [ 1 ]. À partir de ce plan, la sphère de Poincaré se construit en faisant une projection stéréographique du plan sur une sphère de diamètre 1. On considère la sphère tangente au plan en l’ origine O, comme sur la Figure A, on associe à un point M du plan le point d’ intersection entre la sphère et le segment H ' M, noté M '. La droite ν = 0 des polarisations linéaires est ainsi envoyée sur l’ équateur, et les deux polarisations circulaires( c G et c D) sont envoyées aux pôles.
Enfin, la polarisation horizontale qui se trouvait « à l’ infini » est ramenée sur le point H '.
Figure A: Construction de la sphère de Poincaré à partir du plan complexe( u, v). Les polarisations linéaires sont représentées par la droite rouge dont le projeté sur la sphère est l’ équateur. L’ origine O correspond à une polarisation verticale, le point D =( 1, 0) à une polarisation diagonale à 45 ° et H ' est la projection de la polarisation horizontale. La droite bleue représente les polarisations elliptiques d’ azimut nul, les points remarquables c G =( 0, 1) et c D =( 0, – 1) correspondent aux polarisations circulaires gauche et droite. Le point M correspond à une polarisation générique de projetée M '.
48 www. photoniques. com I Photoniques 136