COMPRENDRE mesure de surface d ' onde
Figure 2. Exemple de mise en œuvre de l’ analyseur de Shack-Hartmann pour la mesure des aberrations d’ un système d’ imagerie de scènes d ' étendue supérieure au champ de vue d ' une sous-pupille( surface du Soleil, de la Terre …).
souvent exprimé en chemin optique au bord de la sous-pupille, soit:
m = d – f
× δG,( 2)
où d représente la dimension d’ un côté d’ une sous-pupille. En l’ absence de fluctuations spatiales d’ intensité dans le plan des microlentilles, le déplacement du centre de gravité de l’ image donne ainsi accès au gradient de la surface d’ onde moyenné sur la sous-pupille. Lorsque celles-ci sont significatives, deux démarches ont été développées. Si les variations spatiales d’ intensité sont lentes devant le pas des microlentilles, une interpolation linéaire permet leur prise en compte dans l’ estimation de position. Lorsqu’ elles sont rapides, une expression de l’ erreur commise en moyenne a été établie en s’ appuyant sur la connaissance de la densité spectrale de puissance de ces fluctuations.
En pratique, l ' image au foyer de la microlentille est enregistrée par un détecteur matriciel, de type CCD ou CMOS. L’ évaluation de cette position est affectée par l’ échantillonnage de l’ image et le bruit de détection par pixel.
Le bruit de détection s’ écrit comme la somme de deux contributions: la fluctuation intrinsèque du nombre de photons détectés appelée bruit de photons, et le bruit électronique du détecteur. En supposant les gradients moyens estimés par centre de gravité, la variance de l’ erreur induite par le bruit de photons sur l’ estimation de m =( m u, m ν), s’ exprime [ 2 ]:
N T 2 λ σm 2 u, ph =— 2 1
——,( 3) 8 ln( 2) nph( N D
)
avec λ, la longueur d’ onde, n ph le nombre de photons détectés par sous-pupille et par pose, N T la largeur de la tâche, et N D la largeur de la tâche de diffraction.
Le bruit électronique étant uniforme, il est important de minimiser le nombre de pixels utilisés pour le calcul du centre de gravité afin de limiter sa contribution. En notant ce nombre N S, et σ 2 d la variance du bruit électronique par pixel et par lecture, il vient:
σm 2 u, e =— λ2 12
N 2 Sσd
— 2 n( N S
— 2 ph N D
) 2,( 4)
En astronomie stellaire, différentes méthodes d’ estimation de pentes locales ont été proposées afin de réduire encore l’ effet du bruit de détection sur l’ estimation des gradients [ 3 ].
L’ échantillonnage par le capteur matriciel affecte également l’ estimation de la position de l’ image. Un pas équivalent à 2 pixels par largeur de la tâche à mi-hauteur est couramment retenu pour rendre cette erreur raisonnable. Avec des signaux faibles, comme par exemple en astronomie, il est possible de réduire ce pas à l’ extrême( 2 par 2 pixels par sous-pupilles) pour minimiser l’ impact du bruit électronique. A l’ inverse, en fort flux, comme par exemple en métrologie, il peut être intéressant de l’ augmenter pour réduire l’ impact de l’ échantillonnage sur l’ erreur de calcul du centre de gravité et atteindre des précisions très élevées. Il est à noter que ce suréchantillonnage peut avoir comme conséquence une réduction de la dynamique si on raisonne à nombre de pixels total constant sur le capteur matriciel.
Dans le cas d’ une scène infiniment étendue comme le Soleil, le centre de gravité ne peut pas être utilisé: le déplacement de la scène au foyer de chacune des microlentilles est alors estimé par corrélation [ 4 ].
En résumé, supposant un réseau carré de microlentilles jointives de pas d, et les effets des variations d’ intensité compensées ou négligeables, la mesure d’ un Shack-Hartmann s’ écrit sous la forme du couple:
m u = [
∂S— ∂u
( u, ν) ⊗ Π(
u— d, ν— d)] × Ш( u— d
, ν— d) + n u et m v = [
∂S— ∂ν( u, ν) ⊗ Π( u— d
, ν— d)] × Ш( u— d
, ν— d) + n ν( 5)
où Π désigne le support d’ une sous-pupille et Ш les fonctions de Dirac placées aux nœuds du réseau de microlentilles. Dans l’ espace de Fourier, l’ échantillonnage par la matrice de microlentilles fait apparaître des harmoniques. Le moyennage du gradient de S par sous-pupille n’ est pas suffisant pour
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