Jako příklad si můžeme uvést pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a = 3 cm, b = 4 cm a s přeponou c = 5 cm. Když tyto hodnoty dosadíme do výše uvedeného vztahu, vidíme, že platí: 3 2 + 4 2 = 5 2. Trojicím stran tvořených celými kladnými čísly, které splňují tento vztah daný Pythagorovou větou, říkáme pythagorejské trojice.
Přestože několik staletí před Pythagorem znali tento vztah již Babyloňané a Číňané, Pythagoras nebo jeho škola byli pravděpodobně první, kdo dokázali jeho obecnou platnost pro všechny pravoúhlé trojúhelníky.
Pythagoras se významně zapsal také do dějin hudby. Věřil, že „ vše je číslo“ a že celý vesmír lze popsat matematickými poměry. Tento pohled spojoval matematiku, filozofii i náboženství v jeden harmonický celek. A právě pojem harmonie byl pro Pythagora klíčový, nejen v hudbě, ale i v chápání řádu vesmíru. Hudba ve filozofii pythagorejců zaujímala výjimečné místo, protože byla prostředkem k dosažení harmonie duše i vesmíru.
Základním objevem antické hudby bylo rozlišení souzvuků na konsonance( libozvuky) a disonance( nelibozvuky). Lidé si všimli, že dva současně znějící tóny nemusí vždy vytvářet příjemný zvuk. Za nejlibozvučnější považovali tóny, jejichž frekvence jsou v poměru celých čísel, například 440 Hz a 880 Hz.
Podle legendy se Pythagoras zaposlouchal do zvuků kladiv v kovárně a povšiml si různých tónů, které vznikaly, když různě vážící kladiva narážela do kovových částí stejné délky. Když byly hmotnosti kladiv v daném poměru, výsledné tóny zněly harmonicky. Je možné, že se tento příběh nikdy nestal, ale s jistotou můžeme říci, že Pythagoras prováděl pokusy, při nichž si všímal vztahu mezi velikostí předmětu a vzniklým tónem. Drnkal například na struny různých délek nebo bil do nádob naplněných rozdílným množstvím tekutiny, aby si ověřil, jak se mění jejich tón. Těmito experimenty se mu podařilo najít vztah mezi předmětem a zvukem.
Pythagoras našel spojitost mezi harmonií souzvuků a číselnými poměry a zjistil, že když jsou délky strun nebo hmotnosti kladiv ve vzájemném poměru malých celých čísel, vznikají harmonické zvuky. Například když je jedna struna dvakrát delší než druhá, zazní tóny o oktávu od sebe( poměr 2: 1), při poměru 3: 2 pak vzniká kvinta, a při poměru 4: 3 kvarta. V rámci oktávy vytvářejí kvinta a kvarta dohromady harmonický zvuk, kterému říkáme hudební akord. Tímto objevem poprvé prokázal, že i hudba se řídí matematickými zákonitostmi a podařilo se mu vyjádřit hudební harmonii prostřednictvím čísel. Pythagoras poté sestavil hudební stupnici začínající jedním tónem a končící tónem o oktávu vyšším. Tóny mezi nimi vytvořil použitím čistých kvint.
Tyto poměry a z nich vzniklá stupnice tvoří základ tzv. pythagorejského ladění. Různé kultury využívali v historii velké množství jiných hudebních stupnic, ale tradice západní hudby navazuje na práci Pythagora a jeho porozumění vztahu mezi hudbou