Matematicas | Page 9

1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO Afirmación Justificación (1) (2) b+a = c+a (b + a) + d = (c + a) + d (3) (4) b + (a + d) = c + (a + d) b+0 = c+0 (5) b = c 3 Hipótesis Sumando d a cada lado de la igualdad (1) De (2) y P1 De (4) y el hecho que a + d = 0 De (4) y P3 2 Si el lector analiza con cuidado el razonamiento usado podrá observar que, además de las propiedades P1, ..., P8, usamos implícitamente otros principios lógicos relativos a las propiedades de la relación de igualdad. En efecto, en la línea (2) implícitamente hemos usado que al sumar d a cada lado de una igualdad se mantiene la igualdad. Por otra parte, la propiedad P1 nos asegura que (b + a) + d = b + (a + d) y también que (c + a) + d = c + (a + d) y de esto junto con (2) hemos concluido (3). El principio que está detrás de este argumento es que si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces ellas son iguales entre sí. A continuación enunciaremos con precisión estos sencillos principios que casi nunca se menciona explícitamente por ser “obvios”, pero que son imprescindibles. Comenzamos con las propiedades “lógicas” de la igualdad. Las letras A, B y C denotan números cualesquiera o expresiones algebraicas. I1 A = A (Reflexividad) I2 Si A = B, entonces B = A (Simetría) I3 Si A = B y B = C, entonces A = C (Transitividad) Las siguientes propiedades se conocen como propiedades de compatibilidad de la igualdad y las operaciones de suma y multiplicación. Estas propiedades expresan el principio de sustitución de iguales por iguales. C1 Sean a, b, c enteros. Si a = b, entonces a + c = b + c y c + a = c + b. C2 Sean a, b, c enteros. Si a = b, entonces a · c = b · c y c · a = c · b. Ejemplo 1.2. Daremos una justificación de la siguiente identidad: (a + b) + c = (c + b) + a. Transformaremos la expresión de la izquierda en la de la derecha, usando como reglas de transformación las especificadas por las propiedades P1,..., P8.