1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO
Afirmación
Justificación
(1)
(2)
b+a = c+a
(b + a) + d = (c + a) + d
(3)
(4)
b + (a + d) = c + (a + d)
b+0 = c+0
(5)
b = c
3
Hipótesis
Sumando d a cada lado
de la igualdad (1)
De (2) y P1
De (4) y el hecho
que a + d = 0
De (4) y P3
2
Si el lector analiza con cuidado el razonamiento usado podrá observar que, además de
las propiedades P1, ..., P8, usamos implícitamente otros principios lógicos relativos a las
propiedades de la relación de igualdad. En efecto, en la línea (2) implícitamente hemos
usado que al sumar d a cada lado de una igualdad se mantiene la igualdad. Por otra parte, la
propiedad P1 nos asegura que (b + a) + d = b + (a + d) y también que (c + a) + d = c + (a + d)
y de esto junto con (2) hemos concluido (3). El principio que está detrás de este argumento
es que si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces ellas son iguales entre sí. A
continuación enunciaremos con precisión estos sencillos principios que casi nunca se menciona
explícitamente por ser “obvios”, pero que son imprescindibles.
Comenzamos con las propiedades “lógicas” de la igualdad. Las letras A, B y C denotan
números cualesquiera o expresiones algebraicas.
I1 A = A (Reflexividad)
I2 Si A = B, entonces B = A (Simetría)
I3 Si A = B y B = C, entonces A = C (Transitividad)
Las siguientes propiedades se conocen como propiedades de compatibilidad de la igualdad y las operaciones de suma y multiplicación. Estas propiedades expresan el principio de
sustitución de iguales por iguales.
C1 Sean a, b, c enteros. Si a = b, entonces a + c = b + c y c + a = c + b.
C2 Sean a, b, c enteros. Si a = b, entonces a · c = b · c y c · a = c · b.
Ejemplo 1.2. Daremos una justificación de la siguiente identidad:
(a + b) + c = (c + b) + a.
Transformaremos la expresión de la izquierda en la de la derecha, usando como reglas de
transformación las especificadas por las propiedades P1,..., P8.