CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(a + b) + c
a+b
c + (a + b)
c + (b + a)
(a + b) + c
=
=
=
=
=
c + (a + b)
b+a
c + (b + a)
(c + b) + a
(c + b) + a
P2
P2
De (2) y C1
P1
De (1), (3) y (4) e I3
2
Ejemplo 1.3. Para ilustrar lo engorroso que sería mencionar el uso de los principios I1,
I2, I3, C1 y C2 daremos una prueba de la ley de cancelación para la suma donde haremos
explícito el uso de ellos.
(1)
b+a = c+a
(2) (b + a) + d = (c + a) + d
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
b + (a + d)
c + (a + d)
b + (a + d)
b + (a + d)
a+d
b + (a + d)
b+0
b + (a + d)
c + (a + d)
c+0
c + (a + d)
b + (a + d)
b
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(b + a) + d
(c + a) + d
(c + a) + d
c + (a + d)
0
b+0
b
b
c+0
c
c
c
c
Hipótesis.
De (1) por C1, donde d
es el inverso de a dado por P4
Por P1
Por P1
De (2) y (3) por I3
De (4) y (5) por I2 y I3
Por P4 pues d es el inverso de a fijado en (2)
De (7) por C1
Por P3
De (8) y (9) por I3
De (7) por C1
Por P3
De (11) y (12) por I3
De (6) y (13) por I3
De (10) y (14) por I2 y I3
2
Observación: Una de las ventajas que tiene esta forma de presentar las demostraciones es
que los principios lógicos y matemáticos en que se basan los argumentos quedan completamente especificados. Al contrario de lo que ocurre en las presentaciones mas informales de las
pruebas, donde el uso de esos principios puede pasar desapercibido. Para acortar la longitud
de las demostraciones algunos pasos serán abreviados.
Una diferencia importante entre los principios I2, I3, C1, C2 y el resto, es que los
primeros se expresan por medio de proposiciones condicionales. Por esta razón, cada vez que
hagamos uso de ellos, debemos señalar la línea (o las líneas) de la demostración donde se
verificó la premisa. Por ejemplo, la línea (5) se justificó con I3 y tuvimos que señalar que las
líneas (2) y (3) contienen la premisa de I3:
b + (a + d) = (c + a) + d
premisa
c + (a + d) = (c + a) + d
premisa
b + (a + d) = c + (a + d)
conclusión