Matematicas | Page 10

CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES 4 (1) (2) (3) (4) (5) (a + b) + c a+b c + (a + b) c + (b + a) (a + b) + c = = = = = c + (a + b) b+a c + (b + a) (c + b) + a (c + b) + a P2 P2 De (2) y C1 P1 De (1), (3) y (4) e I3 2 Ejemplo 1.3. Para ilustrar lo engorroso que sería mencionar el uso de los principios I1, I2, I3, C1 y C2 daremos una prueba de la ley de cancelación para la suma donde haremos explícito el uso de ellos. (1) b+a = c+a (2) (b + a) + d = (c + a) + d (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) b + (a + d) c + (a + d) b + (a + d) b + (a + d) a+d b + (a + d) b+0 b + (a + d) c + (a + d) c+0 c + (a + d) b + (a + d) b = = = = = = = = = = = = = (b + a) + d (c + a) + d (c + a) + d c + (a + d) 0 b+0 b b c+0 c c c c Hipótesis. De (1) por C1, donde d es el inverso de a dado por P4 Por P1 Por P1 De (2) y (3) por I3 De (4) y (5) por I2 y I3 Por P4 pues d es el inverso de a fijado en (2) De (7) por C1 Por P3 De (8) y (9) por I3 De (7) por C1 Por P3 De (11) y (12) por I3 De (6) y (13) por I3 De (10) y (14) por I2 y I3 2 Observación: Una de las ventajas que tiene esta forma de presentar las demostraciones es que los principios lógicos y matemáticos en que se basan los argumentos quedan completamente especificados. Al contrario de lo que ocurre en las presentaciones mas informales de las pruebas, donde el uso de esos principios puede pasar desapercibido. Para acortar la longitud de las demostraciones algunos pasos serán abreviados. Una diferencia importante entre los principios I2, I3, C1, C2 y el resto, es que los primeros se expresan por medio de proposiciones condicionales. Por esta razón, cada vez que hagamos uso de ellos, debemos señalar la línea (o las líneas) de la demostración donde se verificó la premisa. Por ejemplo, la línea (5) se justificó con I3 y tuvimos que señalar que las líneas (2) y (3) contienen la premisa de I3: b + (a + d) = (c + a) + d premisa c + (a + d) = (c + a) + d premisa b + (a + d) = c + (a + d) conclusión