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1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO 5 El lector podrá comprobar que las únicas líneas que en su justificación se requiere mencionar una (o algunas) de las líneas anteriores son aquellas que hacen uso de I2, I3, C1 o C2. Mostraremos a continuación que el inverso aditivo de un entero (como lo indica la propiedad P4) es único. El esquema que seguiremos ocurre con frecuencia y le recomendamos al lector que le ponga atención: Supondremos que un entero a tiene dos inversos aditivos b y d y después mostraremos que b = d. Proposición 1.4. Sea a un entero, existe un único entero b tal que a + b = 0. Demostración: Supongamos que b y d son enteros que satisfacen: a+b=0 a+d=0 De lo anterior se concluye (usando I3) que a + b = a + d. Podemos ahora usar la proposición 1.1 y concluir que d = b. 2 Ya que cada entero tiene un único inverso, lo denotamos con un símbolo especial: −a. Observe el lector que si dos enteros a y b satisfacen que a + b = 0, entonces podemos concluir que b = −a (es decir, b es el inverso de a) y también que a = −b (es decir, que a es el inverso de b). Usualmente se escribe a − b en lugar de a + (−b). A continuación mostraremos dos propiedades del inverso aditivo. El lector seguramente las conoce, lo interesante es que ellas se deducen de los principios básicos. Proposición 1.5. Sean a y b enteros. Se tiene que (i) −(−a) = a, (ii) −(a + b) = −a − b. (iii) −0 = 0. Demostración: Note el lector que (i) simplemente dice que el inverso de −a es a. En efecto, como a + (−a) = 0, de la unicidad del inverso concluimos que −(−a) = a. Para establecer la validez de (ii), bastaría ver que −a − b es el inverso aditivo de a + b. En efecto,