CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
6
(0)
−a − b
(1) (a + b) + (−a − b)
(2)
((a + b) − b) − a
(3)
(a + b) − b
(4)
a + (b − b)
(5)
a+0
(6)
(a + b) − b
(7)
((a + b) − b) − a
(8)
((a + b) − b) − a
(9) (a + b) + (−a − b)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−b − a
(a + b) + (−b − a)
(a + b) + (−b − a)
a + (b − b)
a+0
a
a
a−a
0
0
Por P2
De (0) por C1
Por P1
Por P1
Por P4 y C1
Por P3
De (3), (4) y (5) por I3
De (6) por C1
De (7) por P4 y I3
De (1), (2) y (8) por I2 y I3
Para verificar (iii), notemos que por P3, 0 + 0 = 0. Por lo tanto, la unicidad del elemento
inverso (proposición 1.4) nos garantiza que 0 = −0.
2
De lo visto hasta ahora, podemos decir que el esquema ha seguir para la demostración de
una igualdad en la aritmética se puede resumir de la manera siguiente: Use las propiedades
P1,..., P8 y cuando haga falta sustituya “iguales por iguales”.
1.1.3.
Propiedades de la multiplicación
Hasta ahora no hemos mostrado ninguna de las propiedades de la multiplicación. Al igual
que con la suma, las propiedades de la multiplicación las podemos establecer basándonos en
P1,..., P8, C1,C2 y I1, I2, I3.
Proposición 1.6. a · 0 = 0 · a = 0 para todo entero a.
Demostración: Por P7 es suficiente mostrar que a · 0 = 0.
(1) a · 0 + a · 0
(2)
0+0
(3) a · (0 + 0)
(4) a · 0 + a · 0
(5) a · 0 + a · 0
(6)
a·0
=
=
=
=
=
=
a · (0 + 0)
0
a·0
a·0
a·0+0
0
Por P6
Por P3
De (2) por P7 y C2
De (1) y (3) por I3
De (4) por I3 y P3
De (5) por proposición 1.1
2
Proposición 1.7. Sean a, c enteros. Entonces −(a · c) = (−a) · c.
Demostración: Basta mostrar que a · c + (−a) · c = 0, pues esto garantiza que el inverso de
a · c es precisamente (−a) · c.
(1) a · c + (−a) · c
(2) a · c + (−a) · c
(3)
0·a
(4) a · c + (−a) · c
=
=
=
=
(a + (−a)) · c
0·a
0
0
Por P6 y P7
De (1), P4 y C2
Por proposición 1.6
De (2) y (3) por I3