1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO
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Observe el lector que en la línea (1) hemos usado otra versión de la ley distributiva:
(b + c) · a = b · a + c · a. La cual se deduce de P6 y la ley conmutativa P7.
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Mostraremos a continuación que el elemento neutro para la multiplicación es único.
Proposición 1.8. Supongamos que b es un entero tal que a · b = a para todo entero a.
Entonces b = 1.
Demostración: Como a · b = a para todo a ∈ Z, en particular sustituyendo a por 1 tenemos
que 1 · b = 1. Por P7 tenemos que 1 · b = b · 1 y en consecuencia por P8 e I3 tenemos que
b = 1 · b. Por lo tanto b = 1.
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Ahora queremos demostrar la ley de cancelación para la multiplicación. Es decir, queremos ver que si a = 0 y
a·c=a·b
entonces c = b. ¿Cómo razonaríamos informalmente para mostrar esta ley?. De la igualdad
anterior se tiene que
a · c − a · b = 0.
Por lo tanto,
a · (c − b) = 0.
Como a se supone que no es igual a cero, entonces necesariamente c − b = 0, es decir c = b.
Aquí hemos usado una propiedad importante de los números: si el producto de dos enteros
es igual a cero, entonces alguno de ellos es igual a cero. Sin embargo, esta propiedad no
se puede validar usando solamente los principios P1,..., P8. Por esta razón introduciremos
otras propiedades. Denotaremos con el símbolo
Z+
al conjunto de los números enteros positivos. Las propiedades de los enteros positivos que
serán fundamentales son las siguientes:
P9 (Ley de Tricotomía) Para todo número entero a se cumple una, y sólo una, de las
siguientes afirmaciones:
1. a = 0.
2. a ∈ Z+ .
3. −a ∈ Z+ .
P10 Si a, b ∈ Z+ , entonces a + b ∈ Z+ .
P11 Si a, b ∈ Z+ , entonces a · b ∈ Z+ .
Proposición 1.9. Sean a y b enteros. Si a · b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
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Como lo mencionamos anteriormente, la proposición 1.9 no se puede demostrar sin hacer uso de los
principios P9, P10 y P11. Esta afirmarción no es fácil de verificar. Piense el lector cómo puede uno mostrar
que una proposición no se puede demostrar.