CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
8
Demostración: Mostraremos la contrarecíproca, es decir,
si a = 0 y b = 0, entonces a · b = 0.
Por la tricotomía P9, tenemos que a ∈ Z+ o −a ∈ Z+ y análogamente b ∈ Z+ o −b ∈ Z+ .
De esto se concluye que existen cuatro casos posibles:
(i) a ∈ Z+ , b ∈ Z+ ,
(ii) a ∈ Z+ y −b ∈ Z+ ,
(iii) −a ∈ Z+ y b ∈ Z+ y finalmente
(iv) −a ∈ Z+ y −b ∈ Z+ .
Cada uno de estos cuatro casos hay que tratarlo por separado, pero de manera similar.
Comencemos con el primer caso. (i) Si a ∈ Z+ , b ∈ Z+ , entonces por P11 se concluye que
a · b ∈ Z+ . Por lo tanto, por la tricotomía a · b = 0.
Supongamos ahora que se da el caso (ii). Si a ∈ Z+ y −b ∈ Z+ , entonces a · (−b) ∈ Z+
por P11. Como −(a · b) = a · (−b), entonces −(a · b) = 0 (por P9). Por lo tanto a · b = 0. En
efecto, pues si a · b = 0, entonces −(a · b) = 0 (¿por qué?).
Dejaremos a cargo del lector los dos casos restantes.
2
Ahora podemos verificar la ley de cancelación para la multiplicación.
Proposición 1.10. (Ley de cancelación para la multiplicación) Sean a, b y c enteros con
c = 0. Si a · c = b · c, entonces a = b.
Demostración: Supongamos que a · c = b · c y c = 0. Entonces
(1)
a·c
(2) a · c + (−b) · c
(3) a · c + (−b) · c
(4) b · c + (−b) · c
(5) (b + (−b)) · c
(6) (a + (−b)) · c
(7)
a + (−b)
(8)
=
=
=
=
=
=
=
b·c
b · c + (−b) · c
(a + (−b)) · c
(b + (−b)) · c
0
0
0
a = b
Hipótesis
De (1) y C1
Por P6
Por P6
Por 1.6
De (2), (3) y (4) e I3
De (6) y la proposición 1.9
pues c = 0 por hipótesis
De (7).
2
Para finalizar esta sección, mostraremos ahora que
1 ∈ Z+ .
En efecto, primero observemos que a partir de la proposición 1.7 se obtiene que
a · a = (−a) · (−a)
para cualquier entero a. En particular, esto nos dice que si a es un entero no nulo, entonces
independientemente de si a pertenece o no a Z+ , se tiene que a · a ∈ Z+ . En consecuencia,
como 1 = 0 y 1 · 1 = 1 (por P8), entonces 1 ∈ Z+ .