1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO
1.1.4.
9
Propiedades del orden
El orden de Z también lo podemos estudiar de manera abstracta aislando sus propiedades
fundamentales. La idea principal es que un entero a es menor que un entero b, si b − a es
positivo. Esto es la clave para definir de manera abstracta el orden: Basta conocer los enteros
positivos y la operación de restar.
El objetivo de esta sección es mostrar que las propiedades fundamentales del orden se
deducen a partir de P1,..., P11. Un ejemplo típico es el siguiente. Considere la siguiente
afirmación:
Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
Para verificar que es cierta, notemos que las hipótesis nos dicen que 0 ≤ b − a y 0 ≤ c − b.
Sumando miembro a miembro obtenemos que 0 ≤ b − a + c − b. En consecuencia, 0 ≤ c − a.
Es decir, a ≤ c. En esta sección mostraremos que este tipo de razonamientos están validados
por los principios P1,..., P11.
Definición 1.11. Sean a, b enteros, diremos que a es estrictamente menor que b y escribiremos a < b, si se cumple que b − a ∈ Z+ . Escribiremos a ≤ b si a = b o a < b.
Observemos que, de la definición de < y del hecho que 0 es neutro para la suma, se tiene
que a ∈ Z+ es equivalente a 0 < a.
En lugar de b < a también usaremos el símbolo a > b y lo leeremos “ a mayor que b” o “
b menor que a”. De igual manera escribiremos a ≥ b cuando a sea mayor o igual que b.
Proposición 1.12. La relación ≤ definida en 1.11 es un orden total, es decir, satisface lo
siguiente:
(i) (Reflexividad) a ≤ a.
(ii) (Transitividad) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
(iii) (Antisimetría) Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
(iv) (Linealidad del Orden) Para todo a y b se cumple una, y sólo una, de las siguiente
alternativas: a < b, b < a ó a = b .
Demostración:
(i) es obvio a partir de la definición de ≤.
(ii) Consideraremos tres casos. Caso 1: Supongamos que a = b. Entonces como b ≤ c, se
concluye que a ≤ c. Caso 2: Supongamos que b = c. Entonces como antes se concluye
que a ≤ c. Caso 3: Supongamos que a < b, y b < c. Mostremos que a < c. En efecto,