3.2. RELACIONES
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Si R es una relación binaria, también escribiremos
xRy
cuando x e y están relacionados según R, es decir, si (x, y) ∈ R. Es muy frecuente que las
relaciones se denoten con un símbolo especial. Por ejemplo la relación de orden estricto <,
la relación de divisibilidad |, la de pertenencia ∈, la de subconjunto ⊆, etc.
En muchos casos es importante conocer cuáles elementos de A realmente están relacionados con algún elemento de B. Y también es útil saber para cuáles elementos de B existe
alguno de A relacionado con él. Estas ideas las precisamos a continuación.
Definición 3.14. Sea R una relación binaria entre los conjuntos A y B. El dominio de R,
denotado por dom(R), es el conjunto formado por todos aquellos elementos a de A tales que
(a, b) está en R para algún b en B.
El rango de R, denotado por rango(R), es el conjunto formado por todos aquellos elementos b de B tales que (a, b) está en R para algún a en A.
Usando otra notación podemos expresar las nociones de rango y dominio de una relación
de la siguiente manera:
dom(R) = {a ∈ A : aRb para algún b ∈ B}
rango(R) = {b ∈ B : aRb para algún a ∈ A}.
Ejemplo 3.15. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4} y R = {(1, 3), (1, 4)}. Entonces por inspección
tenemos que dom(R) = {1} y rango(R) = {3, 4}
Dejemos A y B como en ejemplo anterior, es decir, A = {1, 2} y B = {3, 4}. Pero ahora
tomemos como R al conjunto {(1, 3), (2, 3)}. Entonces por inspección tenemos que dom(R) =
{1, 2} y rango(R) = {3}. Este ejemplo muestra que el rango y el dominio dependen de la
relación R que estemos estudiando.
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Ejemplo 3.16. Consideremos la relación de orden estricto en N. En términos de conjuntos
tenemos que nuestra relación R viene dada por
R = {(n, m) ∈ N × N : n < m}.
Afirmamos que dom(R) = N y rango(R) = {n ∈ N : 0 < n}. En efecto:
(1) rango(R) = {n ∈ N : 0 < n}: Para mostrar la igualdad de estos dos conjuntos debemos
mostrar dos cosas: (i) rango(R) ⊆ {n ∈ N : 0 < n} y (ii) {n ∈ N : 0 < n} ⊆ rango(R).
(i) Sea n ∈ rango(R). De la definición de rango se concluye que n ∈ N y también, y
esto es lo m ás importante, que existe m ∈ N tal que (m, n) ∈ R. Es decir, m < n.
Por consiguiente n = 0, luego n ≥ 1.