Matematicas | Page 86

CAPÍTULO 3. RELACIONES 80 Definición 3.12. Una relación entre dos conjuntos A y B es un subconjunto de A × B. En este caso diremos que R es una relación de A en B. Observe que decir que R es una relación de A en B no es lo mismo que decir que R es una relación de B en A. Las relaciones entre dos conjuntos se conocen también por el nombre de relaciones binarias. Cuando A es igu al a B diremos que R es una relación sobre A. El concepto de relación incluye muchas posibilidades como veremos en los ejemplos a continuación. Ejemplos 3.13. 1. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4} y R = {(1, 3), (1, 4)}. Tenemos que R es una relación entre A y B. Pero R no es una relación entre B y A. 2. Otro ejemplo de una relación de A en B consiste en tomar todos los pares ordenados (a, b) ∈ A × B. Es decir, si ponemos R igual a A × B, tenemos que R es una relación de A en B. Según esta relación cada uno de los elementos de A está relacionado con cada uno de los elementos de B (¿Puede imaginarse un ejemplo de la vida diaria donde se de esta situación?). 3. La relación de divisibilidad: sean a, b enteros con a = 0, diremos que a está relacionado con b (y escribimos a|b) si existe un entero k tal que b = ka. Por ejemplo, 3|6 y 4 |6. 4. Sea A un conjunto cualquiera. Definimos una relación binaria entre A y P(A) de la manera siguiente R = {(x, B) ∈ A × P(A) : x ∈ B}. Entonces (x, B) está en R precisamente cuando x ∈ B. Es decir, ∈ relaciona los elementos de A con los elementos de P(A). Por ejemplo, en el caso que A = {1, 2, 3} tenemos que (3, {1, 3}) ∈ R y (2, {1, 3}) ∈ R. 5. La relación de subconjunto ⊆. Para adaptar este ejemplo a la definción 3.12 trabajaremos con subconjuntos de un conjunto universal U . Definimos R de la manera siguiente: R = {(C, D) ∈ P(U ) × P(U ) : C ⊆ D}. Dados dos subconjuntos C, D de U , se cumple que C ⊆ D si y solamente si (C, D) ∈ R. Observe que R es una relación sobre P(U ). Por ejemplo, en el caso que U = N, tenemos que ({1, 2}, {1, 2, 3}) ∈ R y ({1, 2}, {1, 3}) ∈ R. 6. El conjunto vacío ∅ es un subconjunto de A × B y en consecuencia es otro ejemplo de relación de A en B. Este es un ejemplo “extremo” de relación, pues en realidad no relaciona a ningún elemento de A con ninguno de B. 2