3.2. RELACIONES
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7. Todos los conceptos usados en matemáticas pueden ser expresados en términos de
conjuntos. Por ejemplo, el concepto de par ordenado puede ser definido de la manera
siguiente: Dados a ∈ A y b ∈ B, se define a, b (usaremos provisionalmente esta
notación) como el conjunto
{{a}, {a, b}}.
a) Sea A = {1, 2} y B = {3, 4}. Determine todos los elementos de { a, b : a ∈
A y b ∈ B}.
b) Muestre que para cada a ∈ A y b ∈ B se cumple que a, b ∈ P(P(A ∪ B))
c) Muestre que la definición de a, b satisface la propiedad fundamental de los pares
ordenados, a saber, a, b = c, d si y sólo si a = c y b = d.
3.2.
Relaciones
La noción de relación es usada frecuentemente en la vida diaria. Un ejemplo muy “familiar” es la relación “ser padre de”. Veamos otros ejemplos de relaciones antes de introducir la
definición matemática.
Ejemplo 3.10. Consideremos la colección C de todas las ciudades de Venezuela. Diremos
que dos ciudades c y d están relacionadas si se puede viajar (no importa con que línea aérea)
de c a d sin hacer escalas. Denotaremos este hecho con el símbolo cRd. Por ejemplo,
Caracas R Mérida y Caracas R Porlamar
pero no es cierto que Mérida R Porlamar. Cada par de ciudades relacionadas c y d puede
ser considerado como el par ordenado (c, d). La relación R la podemos entonces representar
como el siguiente conjunto de pares ordenados:
R = {(c, d) ∈ C × C : Existe un vuelo sin escalas de c a d}.
Por ejemplo, tenemos que (Caracas, Mérida) ∈ R y (Mérida, Porlamar) ∈ R.
Las bases de datos de las líneas aéreas y agencias de viajes guardan la información sobre
los vuelos de la manera en que la hemos presentado en este ejemplo (esas bases de datos se
conocen como bases de datos relacionales).
2
Ejemplo 3.11. Consideremos la relación < de orden estricto entre números naturales. Podemos representar esta relación como una colección de pares ordenados de la manera siguiente:
R = {(n, m) ∈ N × N : n < m}.
Por ejemplo, (3, 5) ∈ R y (4, 2) ∈ R. Por supuesto que ésta no es la manera usual de expresar
la relación de orden, pero nos sirve para motivar la definición que daremos a continuación.
2
Los dos ejemplos que hemos presentado tienen en común que la relación en cuestión fue
representada en términos de colecciones de pares ordenados y esto es la clave de la siguiente
definición.