CAPÍTULO 3. RELACIONES
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e) R × [1, 3]
f ) ([0, 2) × R) ∩ (R × [1, 3])
3. ¿Cuál figura geométrica se podría representar con los siguientes conjuntos?
a) [0, 1] × {1}
b) [0, 1] × {0} ∪ [0, 1] × {1} ∪ {0} × [0, 1] ∪ {1} × [0, 1]
4. Mencionamos en el texto que un cubo se puede modelar con el conjunto
[0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
¿A que parte del cubo corresponden los siguientes conjuntos?:
a) [0, 1] × [0, 1] × {1}
b) [0, 1] × {1} × {0}
c) {1} × [0, 1] × [0, 1]
5. Sean A, B y C conjuntos, muestre las siguiente afirmaciones:
a) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
b) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C),
c) Si A ⊆ B, entonces A × C ⊆ B × C,
d ) A × ∅ = ∅.
6. En los siguientes ejercicios daremos un argumento que podría ser una “demostración”.
Determine cuáles de las afirmaciones son correctas y cuáles argumentos son correctos
y completos. Justifique su respuesta.
a) Afirmación: (A × B) ∪ C = (A × C) ∪ (B × C).
“Demostración”:
x ∈ (A × B) ∪ C si, y sólo si x ∈ A × B ó x ∈ C
si, y sólo si x ∈ A y x ∈ B ó x ∈ C
si, y sólo si x ∈ (A × C) ∪ (B × C).
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b) Afirmación: Si A × B = A × C y A = ∅, entonces B = C.
“Demostración”:
A×B
A×C
=
A
A
por lo tanto B = C.
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c) Afirmación: Si A × B = A × C y A = ∅, entonces B = C.
“Demostración”: Mostraremos primero que B ⊆ C. Sea b ∈ B. Como A = ∅
escogemos a ∈ A. Entonces (a, b) ∈ A × B. Luego por hipótesis tenemos que
(a, b) ∈ A × C y por lo tanto b ∈ C. Esto muestra que B ⊆ C.
La prueba de que C ⊆ B es análoga.
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