3.1. EL PRODUCTO CARTESIANO
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Observe que hemos introducido los paréntesis y corchetes para evitar ambigüedad lógica
con los conectivos. En el tercer paso hemos usado la ley distributiva de la lógica proposicional
que dice lo siguiente
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).
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Ejemplo 3.9. Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C ).
En efecto,
(x, y) ∈ A × (B ∩ C)
⇔ (x∈A) ∧ (y ∈B∩C )
⇔ (x ∈ A ) ∧ [ (y ∈ B ) ∧ ( y ∈ C )]
⇔ [( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B )] ∧ [( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ C )]
⇔ [ (x, y) ∈ A × B ] ∧ [ (x, y) ∈ A × C ]
⇔ (x, y) ∈ (A × B) ∩ (A × C).
En este ejemplo hemos usado la siguiente equivalencia lógica:
p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r).
Ejercicios 3.1
1. Sean A = {1, 2}, B = {−1, −2, −3}, C = {a, b, c}, D = {4} y E = {1, 2, 3}.
a) Determine por extensión los siguientes conjuntos
(i) A × B
(ii) A × B × C
(iii) B × A
(iv) A × C × A
(v) A3
(vi) B 2 × D
b) Muestre que A × B ⊆ E × B.
c) Muestre que (A × B) ∩ (B × B) = ∅.
d ) Muestre que A × B = B × A.
2. Represente en el plano Cartesiano R2 los siguientes conjuntos
a) [0, 4] × [−1, 2)
b) (3, 6) × (3, 7)
c) (1, 4] × (3, +∞)
d ) [0, 2) × R