CAPÍTULO 3. RELACIONES
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3.1.1.
Algunas propiedades del producto cartesiano
Ahora veremos alguna propiedades de la operación ×.
Ejemplo 3.7. Sean A, B y C conjuntos cualesquiera. Mostraremos que
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
Debemos verificar dos cosas:
(i) A × (B ∪ C) ⊆ (A × B) ∪ (A × C)
y
(ii) (A × B) ∪ (A × C) ⊆ A × (B ∪ C).
Veamos (i). Sea (x, y) ∈ A × (B ∪ C), entonces x ∈ A y y ∈ (B ∪ C). Luego hay dos
casos a considerar:
Caso a: Supongamos que y ∈ B. Entonces como x ∈ A, se tiene que (x, y) ∈ A × B, y por
lo tanto (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).
Caso b: Supongamos y ∈ C. Entonces como x ∈ A, se tiene que (x, y) ∈ A × C, y por lo
tanto (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).
Veamos (ii). Sea (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C). Entonces hay dos casos a considerar:
Caso a: Supongamos (x, y) ∈ A × B. Entonces x ∈ A y y ∈ B. Por lo tanto y ∈ B ∪ C y
en consecuencia (x, y) ∈ A × (B ∪ C).
Caso b: Supongamos (x, y) ∈ A × C. Entonces x ∈ A y y ∈ C. Por lo tanto y ∈ B ∪ C y
en consecuencia (x, y) ∈ A × (B ∪ C).
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Ejemplo 3.8. Hay otra forma de presentar las demostraciones en el álgebra de conjuntos.
Usaremos el ejemplo anterior para ilustrar lo que queremos decir. Para probar la igualdad
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),
debemos mostrar que dado x, y cualesquiera se cumple que
(x, y) ∈ A × (B ∪ C) ⇔ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).
Iremos mostrando una serie de equivalencias y la última de ellas será la deseada.
(x, y) ∈ A × (B ∪ C)
⇔ (x ∈ A) ∧ ( y ∈ B ∪ C )
⇔ (x ∈ A) ∧ [(y ∈ B) ∨ (y ∈ C)]
⇔ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ B)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C)]
⇔ [(x, y) ∈ A × B ] ∨ [ (x, y) ∈ A × C]
⇔ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).