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CAPÍTULO 3. RELACIONES 82 (ii) Sea n ∈ N con n ≥ 1, queremos ver que n ∈ rango(R). Como n ≥ 1, tenemos que n − 1 ≥ 0, luego n − 1 ∈ N y además n − 1 < n. Por lo tanto, (n − 1, n) ∈ R. Es decir, n ∈ rango(R). (2) dom(R) = N: De manera similar, mostraremos dos cosas: (i) N ⊆ dom(R) y (ii) dom(R) ⊆ N. (i) Sea n ∈ N, queremos mostrar que n ∈ dom(R). En efecto, simplemente notemos que (n, n + 1) ∈ R pues n < n + 1. (ii) De la propia definición de dom(R) se deduce que dom(R) ⊆ N. 2 Ejemplo 3.17. Sea R la relación de pertenencia definida entre elementos de un conjunto A y el conjunto de partes de A. Es decir, R = {(x, B) ∈ A × P(A) : x ∈ B}. Vemos que dom(R) = A, pues dado cualquier a ∈ A tenemos, por ejemplo, que (a, A) ∈ R. Por otra parte, rango(R) = P(A) − {∅}, pues para ningún a ∈ A se cumple que (a, ∅) ∈ R. 2 Ejercicios 3.2 1. Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones. a) b) c) d) e) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)} R = {(−1, 1), (−2, 2), (−3, 3), (−4, 4), (−5, 5)} R = {(n, 2n) : n ∈ N} R = {(n, 2n + 1) : n ∈ N} 1 R = {(1, 1), (1, 2 ), (1, 1 ), (1, 1 ), (1, 1 ), (1, 1 ), (1, 1 )} 3 4 5 6 7 2. Sea A = {0, 1, 2}. Definimos una relación R sobre A de la manera que se indica. Escriba R como un conjunto de pares ordenados y determine su dominio y su rango. a) b) c) d) e) nRm, nRm, nRm, nRm, nRm, si si si si si n ≤ m. m · n = 0. m + n ∈ A. m = máx{n, 1}. m2 + n2 = 3. 3. Considere la relación R de {1, 2} en P({1, 2}) dada por R = {(x, B) ∈ {1, 2} × P({1, 2}) : x ∈ B}. a) Determine todos los elementos de R. b) Determine el r ango y el dominio de R. 4. Halle dos relaciones R y Q sobre {1, 2, 3} tales que dom(R) = dom(Q), rango(R) = rango(Q) pero R = Q.