CAPÍTULO 3. RELACIONES
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Ejemplo 3.1. Veamos como se usa la definición de igualdad de pares ordenados. Mostraremos
que (a, b) = (b, a) si, y sólo si a = b. Debemos mostrar dos cosas: (i) Supongamos que
(a, b) = (b, a), entonces por la definición de igualdad de pares ordenados obtenemos que
a = b. (ii) Supongamos que a = b, entonces las primeras y segundas componentes de (a, b) y
(b, a) son iguales y por lo tanto (a, b) = (b, a).
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Ejemplos 3.2.
1. Sea A = {1, 2} y B = {p, q, r} Entonces tenemos que
A × B = {(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r)}.
2. Sea A = B = {1, 2} Entonces
A × B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Observe que (1, 2) = (2, 1) a diferencia de lo que ocurre con los conjuntos donde el
orden no es importante, pues {1, 2} = {2, 1}. El par (1, 1) es legítimo, en cambio el
conjunto {1, 1} es en realidad el conjunto {1} pues no hace falta repetir los elementos.
En algunos libros los pares ordenados se denotan por < 1, 2 > para evitar una posible
confusión con el intervalo (1, 2) de la recta real. Nosotros mantendremos la notación
más tradicional de (a, b) para pares ordenados pues el contexto siempre aclarará a qué
nos estamos refiriendo.
3. El producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo también se acostumbra denotar
por A2 en lugar de A × A.
4. Si A tiene un sólo elemento, digamos {a}, también podemos formar A×B y obtenemos
{a} × B = {(a, b) : b ∈ B}.
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Los pares ordenados y el producto cartesiano son muy útiles para modelar situaciones
reales. A continuación damos un ejemplo que ilustra lo que acabamos de decir.
Ejemplo 3.3. Si se tira dos veces una moneda al aire y convenimos en representar con la
letra c si sale “cara” y con s si sale “sello”, entonces todos los resultados posibles son: cs,
cc, ss y sc. Podemos usar el producto cartesiano {c, s} × {c, s} para representar todas las
posibilidades
{c, s} × {c, s} = {(c, s), (c, c), (s, s), (s, c)}.
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Ejemplo 3.4. (El plano Cartesiano) El conjunto R2 que consiste de todos los pares ordenados de números reales sirve para representar un plano. El conjunto R2 generalmente se
representa por un sistema de coordenadas, llamadas precisamente coordenadas Cartesianas.