CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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b) Sean A y B dos subconjuntos de R acotados inferiormente. Muestre que
ínf (A + B) = ínf A + ínf B.
10. Recuerde que dados dos subconjuntos A, B de R definimos
A · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}.
a) Sean A y B dos subconjuntos de R+ = {x ∈ R : x > 0} acotados superiormente.
Muestre que A · B es acotado superiormente y
sup(A · B) = sup A · sup B.
b) ¿Qué puede decir en general acerca del supremo de A · B?
11. Sea A ⊆ R, definimos el conjunto −A de la manera siguiente
−A = {−r ∈ R : r ∈ A}.
a) Suponga que A ⊆ R no es vacío y es acotado inferiormente. Muestre que −A está
acotado superiormente y además que
− sup(−A) = ´
ınf(A).
b) Use el ejercicio anterior para dar otra demostración de que todo conjunto no vacío
de números reales que sea acotado inferiormente tiene ínfimo.
12.
a) Sean A y B dos conjuntos no vacíos de números reales. Supongamos que a ≤ b
para todo a ∈ A y todo b ∈ B. Muestre que:
(i) sup A ≤ b para todo b ∈ B.
(ii) sup A ≤ ´ B
ınf
b) De un ejemplo de dos conjuntos de números reales A y B no vacíos tales que a ≤ b
para todo a ∈ A y todo b ∈ B.
13. Sean A, B dos subconjuntos de R tales que A ⊆ B y A = ∅.
a) Muestre que si B es acotado superiormente, entonces A también lo es y en este
caso se cumple que sup A ≤ sup B.
b) De manera similar, muestre que si B es acotado inferiormente, entonces A también
lo es y además ´ B ≤ ´ A.
ınf
ınf
c) Suponga que B no es acotado superiormente (y A ⊆ B) ¿Es posible que A sea
acotado superiormente? Si su respuesta es “si”, de un ejemplo.
d ) ¿Existirán subconjuntos de R tales que A ⊆ B, B acotado superiormente, A = B
y sup A = sup B ?