CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Notemos que el papel que juegan A y B es simétrico, esto es, podemos sustituir A por
B y B por A en el enunciado y obtenemos un enunciado equivalente al original. Esto
nos garantiza que el caso que ya analizamos muestra que si sup B ≤ sup A, entonces
sup(A ∪ B) = sup(A). Y con esto terminamos la demostración del segundo caso.
2
Ejercicios 2.11
1. Considere el conjunto
A = (1, 3] ∪ (4, 8)
y la siguiente afirmación:
Para todo t < c existe x ∈ A tal que t < x ≤ c.
Muestre que si c = 4 esta proposición es falsa, pero para c = 7 es verdadera. ¿Qué
relación guarda este ejercicio con el teorema 2.35?
2. Sea
A = [1, 5) ∪ (6, 9].
Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
Para todo t <
19
2
existe r ∈ A tal que t < r ≤
19
.
2
¿Que relación guarda este ejercicio con el teorema 2.35?
Ahora responda la misma pregunta pero para la siguiente afirmación.
Para todo t <
19
2
existe r tal que t < r ≤
19
.
2
3. Sea
B = {c ∈ R : Para todo t < c existe x ∈ A tal que t < x ≤ c}.
Dé toda la información que pueda acerca de B para cada uno de los siguientes valores
de A.
a) A = [1, 2)
b) A = {1, 2, 3, 4, 5} ∪ [9, 24)
c) A = (2, 3) ∪ (3, 5]
d ) A = (1, 6] ∪ {7, 22 , 36 , 8}
3 5
n
e) A = { n+1 : n ∈ N}
4.
a) Sea A un conjunto acotado superiormente y c un real que satisface que para todo
t < c existe r ∈ A tal que t < r ≤ c ¿Es c el supremo de A?