2.11. PROPIEDADES DEL SUPREMO Y DEL ÍNFIMO
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Veamos que (ii) implica (i). Supongamos ahora que (ii) se cumple y mostremos que c es
el supremo de A. Por hipótesis c es una cota superior de A, así que sólo falta ver que c es la
menor de la cotas superiores de A. En efecto, por (ii) tenemos que si t < c, entonces t no es
una cota superior de A. Por lo tanto todas las cotas superiores de A son mayores o iguales
a c.
2
Tenemos una caracterización del ínfimo similar a la que probamos en 2.35 para el supremo.
Dejamos la demostración como un ejercicio.
Teorema 2.36. Sea A ⊆ R un subconjunto acotado inferiormente. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) c es el ínfimo de A.
(ii) c es una cota inferior de A y para todo t > c existe r ∈ A tal que c ≤ r < t.
2
El siguiente resultado nos dice cómo calcular el supremo de A ∪ B.
Teorema 2.37. Sean A y B dos subconjuntos de R acotados superiormente. Entonces A ∪ B
es acotado superiormente y además
sup(A ∪ B) = m´x{sup(A), sup(B)}.
a
Demostración: Hay dos casos posibles: sup A ≤ sup B o sup B < sup A.
Caso 1. Primero supondremos que sup A ≤ sup B. Esto nos dice que
m´x{sup A, sup B} = sup B
a
y por consiguiente lo que debemos mostrar es que
sup(A ∪ B) = sup(B).
Para comenzar mostraremos que A ∪ B es acotado superiormente. En efecto, sea x ∈
A ∪ B. Hay dos alternativas: x ∈ A o x ∈ B. Si x ∈ A, por definición del supremo
tenemos que x ≤ sup A y como estamos suponiendo que sup A ≤ sup B, entonces
x ≤ sup B. De igual manera, si x ∈ B, entonces por definición de supremo tenemos
que x ≤ sup B. Hemos mostrado entonces que x ≤ sup B para todo x ∈ A ∪ B. Esto
dice que sup B es una cota superior de A ∪ B.
Para mostrar que sup B es el supremo de A ∪ B usaremos el teorema 2.35. Como
ya mostramos que sup B es un cota superior de A ∪ B, sólo nos queda verificar la
condición (ii) en 2.35. Sea entonces r < sup B. Entonces r no es una cota superior de
B, por consiguiente existe x ∈ B tal que r < x ≤ sup B. Pero obviamente x también
pertenece a A ∪ B y con esto queda verificada la condición (ii).
Caso 2. Ahora supondremos que sup B < sup A. Queremos mostrar que
sup(A ∪ B) = sup(A).