CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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c) Sea D ⊆ R. Si D es denso en R, entonces D es denso en Q.
d ) Sean E ⊆ D ⊆ R tales que E es denso en R. Entonces D también es denso en R.
e) Existen dos subconjuntos D, E de R que no son densos, pero tal que D ∪ E es
denso.
5. Sea D ⊆ R un subconjunto denso en R. Sea r ∈ R un real cualquiera distinto de 0.
Definimos
rD = {rx : x ∈ D} y D + r = {r + d : d ∈ D}.
a) Muestre que rD y r + D son densos en R. En particular concluya que el conjunto
√
de todos los números reales de la forma q 2 con q un racional es denso. Igual√
mente, concluya que el conjunto de los reales de la forma q + 2 es denso en R .
(Sugerencia: Ver la demostración de que los irracionales son densos en R).
√
√
b) Muestre que (Q + 2) ∩ (Q + 3) = ∅.
c) Muestre que si r es un irracional, entonces (Q + r) ∩ Q = ∅.
d ) De los ejercicios anteriores deduzca que existen tres subconjuntos densos E, F y
G de R tales que E ∩ F = ∅, F ∩ G = ∅ y E ∩ G = ∅.
6. Muestre que si D es denso en R, entonces para cualquier conjunto no vacío E ⊆ R el
conjunto D + E e s denso en R.
7. Muestre
Q + (0, 1) = R.
8. Sea D ⊆ R denso y a < b reales. Muestre que
D + (a, b) = R.
9. Sea E ⊆ R tal que Q + E = R. Muestre que E ∩ Q = ∅.
2.11.
Propiedades del supremo y del ínfimo
La experiencia acumulada hasta ahora sobre la nociones de supremo e ínfimo nos permitirá en esta sección presentar algunos resultado generales. Comenzaremos haciendo explícito
un criterio que hemos usado varias veces en la secciones anteriores.
Teorema 2.35. Sea A ⊆ R un conjunto acotado superiormente. Las siguientes afirmaciones
son equivalentes.
(i) c es el supremo de A
(ii) c es una cota superior de A y para todo t < c existe r ∈ A tal que t < r ≤ c.
Demostración: Veamos que (i) implica (ii). Supongamos que c es el supremo de A y sea t < c.
Por definición de supremo, tenemos que t no puede ser una cota superior de A. Por lo tanto,
existe r ∈ A tal que t < r y como c es una cota superior de A, entonces r ≤ c.