2.10. SUBCONJUNTOS DENSOS DE R
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√
Como 2 · q ∈ D, entonces concluimos que D es denso en R.
Observemos ahora que
D \ {0} ⊆ I.
√
En efecto, para cualquier racional q distinto de 0 el número 2 · q no puede ser racional: si
√
lo fuera, entonces 2 también sería racional (¿por qué?).
Mostremos que I es denso en R. Sean r, s ∈ R tales que r < s. Como D es denso en R
entonces existe t ∈ D tal que r < t < s. Si t = 0, ya observamos que D \ {0} ⊆ I por lo
tanto t ∈ I. En el caso que t = 0, usamos de nuevo el hecho que D es denso para obtener
t ∈ D tal que r < t < 0 < s y ahora t es irracional.
2
Ejercicios 2.10
1. Muestre que los siguientes conjuntos son densos en R
√
a) {q 5 : q ∈ Q}.
√
b) {q + 2 : q ∈ Q}.
√
c) {q − 3 : q ∈ Q}
2. Determine cuales de los siguientes conjuntos son densos en R.
a) R \ {7}
b) {r ∈ R : r ≤ 6} ∪ {r ∈ R : 10 ≤ r}
√ √ √
c) {1, 2, 5, 5 3}
d) N
e) Z
f ) { 21 : n ∈ N}
n
g) {± 21 : n ∈ N}
n
h) {m +
i ) {m ±
j) R \ Z
1
: m, n ∈ Z n = 0}
n
1
: m ∈ Z, n ∈ N}
2n
3. Muestre que el siguiente conjunto es denso en R
m
: m ∈ Z, n ∈ N .
10n
(Sugerencia: Use la proposición 1.32)
4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta, es
decir, de una prueba en caso de ser verdadera y un contraejemplo en caso de ser falsa.
a) Sea D ⊆ Q. Si D es denso en R, entonces D es denso en Q.
b) Sea D ⊆ Q. Si D no es denso en R, entonces D no es denso en Q.