CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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a) [r + s] ≥ [r] + [s]
b) [[r]/n] = [r/n]
13. Sean
A =
√
( 2, 6) ∪ (6, +∞)
∩ Q
B = {c ∈ R : Para todo t > c existe x ∈ A tal que c ≤ x < t}.
Determine todos los elementos de B.
14. Sean a, b ∈ R con a < b, y t ∈ R tal que 0 < t < b − a. Muestre que
R = (a, b) + {tn : n ∈ Z}.
Sugerencia: Use la función parte entera para mostrar que para cada x ∈ R existe un
entero n tal que
x−a
≤ n + 1.
n<
t
Observe que n + 1 < n + b−a .
t
2.10.
Subconjuntos densos de R
Definiremos ahora la noción de subconjunto denso de R de manera análoga a como lo
hiciéramos para los racionales (ver la definición 1.26).
Definición 2.33. Sea D ⊆ R, diremos que D es denso en R si para todo par de reales r, s
con r < s, existe un elemento d ∈ D tal que r < d < s.
El teorema 2.32 nos dice que Q es un subconjunto denso de R. Existen muchos subconjuntos de R que son densos. Veremos a continuación que el conjunto de los irracionales es
uno de ellos.
Teorema 2.34. El conjunto de los números irracionales es denso en R.
√
Demostración: Sabemos que 2 es un irracional. Mostraremos primero que el siguiente conjunto es denso en R
√
D = {q 2 : q ∈ Q}.
Y a partir de esto mostraremos que el conjunto de los irracionales es denso en R. Sean r, s
reales tales que s < r. Mostraremos que existe un elemento a en D tal que s < a < r. Como
√
√
√
1/ 2 > 0 (¿por qué?) se tiene que s/ 2 < r/ 2. Como Q es denso en R (por el teorema
2.32) sabemos que existe un racional q tal que
√
√
s/ 2 < q < r/ 2.
Y de esto se obtiene que
s<
√
2 · q < r.