2.9. Q ES DENSO EN R
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3. Dado un real x > 1, muestre que existe un racional y > 1 tal que
1+
45
< x.
y
4. Sean x, y, z ∈ R tales que x < y < z. Muestre que existe r ∈ Q tal que
x<
z−x
y−x
r < y.
5. Sean x, y ∈ R con x < y. Muestre que existe z ∈ R+ tal que x + w < y para todo
w ≤ z.
6. Dado un número real x < 7, muestre que existen reales y < −1 y z < 8 tales que
x = y + z.
7. Muestre que para todo x ∈ R existen y, z ∈ R tales que y < 3, z > 6 y x = y + z.
8. Sea x un número real tal que 2 < x < 5, muestre que existen dos números reales a, b
tales que 1 < a < 3, 1 < b < 2 y x = a + b.
9. Una versión más general de los ejercicios anteriores es la siguiente. Recuerde la noción
de suma y producto de conjuntos dada en el ejercicio 5 de la sección 2.3. Muestre que
si a < b, c < d son reales, entonces
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d).
Sugerencia:
a) Muestre que
(a, b) = {a} + {b − a} · (0, 1).
Esto se puede escribir de manera equivalence como sigue:
(a, b) = (b − a)(0, 1) + a.
b) Use lo anterior para mostrar que (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d).
10. Sea x un número real tal que 1 < x < 6, muestre que existen dos números reales a, b
tales que 1 < a < 3, 1 < b < 2 y x = ab.
11. Sea A ⊆ R acotado superiormente y c una cota superior de A. Muestre que las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
(i) c es el supremo de A.
(ii) Para todo r ∈ Q+ existe x ∈ A tal que c − r < x ≤ c.
12. Sean r, s ∈ R y n ∈ N con n > 0. Muestre que