CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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3. Sea n un entero, entonces de la definición de la parte entera es claro que [n] = n. Por
ejemplo, [4] = 4, [−57] = −57.
2
Ahora podemos mostrar que los racionales son densos en R. Este es una propiedad fundamental del orden de los números reales.
Teorema 2.32. (Densidad de Q) Dados dos reales r, s con r < s, existe un racional q tal
que r < q < s.
Demostración: Como s − r > 0, por el corolario 2.17 existe un entero positivo n 0 tal que
1
< s − r.
n0
(2.5)
Considere la parte entera de n0 r, es decir, el entero [n0 r]. Tenemos entonces
[n0 r] ≤ n0 r < [n0 r] + 1.
De (2.5) se tiene que
(2.6)
n0 r + 1
0 se cumple que x ≤ y + r. Muestre que
x ≤ y. (Sugerencia: Suponga lo contrario y use el corolario 2.17).
2. Dados x, y ∈ R con 0 < x < y, muestre que existe r ∈ Q tal que
1
1
1
< < .
y
r
x