2.9. Q ES DENSO EN R
2.9.
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Q es denso en R
Veremos en seguida una consecuencia interesante de la propiedad Arquimediana: entre
cada dos reales existe un racional. Este hecho es muy importante, pues nos indica que los
números reales se pueden aproximar con racionales y la aproximación se puede lograr con la
precisión que se desee.
Antes de mostrar lo dicho anteriormente necesitamos definir la parte entera de un número
real y para ello necesitaremos el siguiente resultado.
Teorema 2.29. Sea r ∈ R. Existe un único entero m tal que
m ≤ r < m + 1.
Demostración: Primero probaremos el resultado suponiendo que r ≥ 0 y después analizaremos los casos restantes. Consideremos el siguiente conjunto:
A = {n ∈ N : r < n}.
Como N no es acotado superiormente sabemos que A no es vacío (¿ por qué?). Por el principio
de buena ordenación para N sabemos que A tiene un primer elemento que denotaremos con
n0 . Notemos que n0 − 1 ≥ 0 (¿por qué?) y como n0 − 1 ∈ A, entonces concluimos que
n0 − 1 ≤ r. Por esto m = n0 − 1 es el entero buscado.
Ahora analizaremos el caso r < 0. Como −r > 0 , entonces por lo visto arriba sabemos
que existe un entero n tal que n ≤ −r < n + 1. Tenemos entonces que −n − 1 < r ≤ −n,
luego hay dos casos posibles: (a) Si r es un entero, tomamos m = r que claramente satisface
los deseado. (b) Si r no es un entero, entonces tomamos m = −n − 1 que ya vimos satisface
que −n − 1 ≤ r < −n.
Por último mostraremos que existe un único entero m con esas propiedades. Supongamos
que m y m son enteros tales que ambos satisfacen que m ≤ x < m + 1 y m ≤ x < m + 1.
Entonces tenemos que m < m + 1 y también que m < m + 1. Luego m ≤ m y m ≤ m, por
lo tanto m = m .
2
Definición 2.30. Para cada real r el entero m dado por el teorema 2.29 se llama la parte
entera de r y se denota por [r]. En otras palabras, la parte entera [r] es el único entero que
satisface
[r] ≤ r < [r] + 1.
2
Ejemplo 2.31.
1 ≤ 3 < 2.
2
1. La parte entera de
2. [− 4 ] = −2, pues −2 ≤
3
−4
3
< −1.
3
2
3
es 1, en símbolos, [ 2 ] = 1. Pues es claro que