CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Ejercicios 2.8
1. Demuestre que los siguiente números son irracionales:
√ √ √
a) 3, 5 , 6
√
√
b) 3 2 y 3 3
√
√
c) 2 + 3 + 2
√
√
√
d) 6 − 2 − 3
2. ¿Para cuáles naturales n existe un racional r tal que r n = n?
3. Use la proposición 2.28 para determinar para cuáles naturales n y a se cumple que
es irracional.
4.
√
n
a
a) Suponga que a y b son racionales ¿Es a + b necesariamente racional? ¿Y si a ó b
es irracional?
b) Si a es racional y b es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?
c) ¿Existe algún número real a tal que a2 es irracional pero a4 es racional?
d ) Determine si la suma de irracionales es irracional.
e) ¿Existen dos números irracionales tales que tanto su suma como su producto sean
racionales?
f ) Sea a un número irracional, ¿Es a−1 irracional?
5. Sean a, b, c y d racionales y x un irracional tal que cx + d = 0. Muestre que
ax + b
cx + d
es irracional si, y sólo si, ad = bc.
6. Considere las siguientes funciones de R en R: g(x) = x2 y
h(x) =
0 , si x es racional
1 , si x es irracional.
Determine para cuáles reales x se cumple que h(x) ≤ g(x)
7. Considere la función
h(x) =
0 , si x es racional
1
, si x es irracional.
x
Determine para cuáles reales x se cumple que h(x) ≤ x.
8. Vimos en 2.27 que la exponenciación ab está definida para cada real a > 0 y cualquier
racional b. Aunque no lo haremos en este libro, se puede extender esta operación para
cualquier exponente real, esto es, ab existe para todo real a positivo y cualquier real b.
a) Muestre que existe un irracional a > 0 y un racional b tal que ab es irracional.
b) Muestre que existe un irracional a > 0 y un irracional b tal que ab es racional.