2.8. LOS NÚMEROS IRRACIONALES
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7. Sean x e y reales positivos. Muestre que
√
xy ≤
x+y
.
2
8. Sea x un real positivo. Muestre que
1
2≤x+ .
x
9. Sean a y b dos reales positivos. Muestre que
1
a
1
+
2
≤
1
b
a·b
.
4
10. Dados x, y ∈ R con 0 < x < y, muestre que existe r ∈ R tal que x <
11. Dados x, y ∈ R con 0 < x < y, muestre que existe r ∈ R tal que x <
2.8.
√
5r < y.
√1
7r
< y.
Los números irracionales
Los números reales que no son racionales se llaman irracionales y se denotan con la
letra I.
I = R \ Q.
√
Ya vimos que, por ejemplo, 2 es irracional, es decir, que las soluciones de la ecuación x2 = 2
no son racionales. Ahora mostraremos un resultado más general que dice que, dados n, a ∈ N,
si la ecuación
xn = a
tiene solución en Q, entonces también tiene una solución en N.
Proposición 2.28. Sean n, a ∈ N. Si existe un racional r tal que r n = a, entonces existe
un natural m tal que mn = a.
Demostración: Sean p, q ∈ N tales que
p
q
n
= a.
Por lo dicho en la proposición 2.5, podemos suponer sin pérdida d