CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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1. a0 = 1.
2. Si q =
3. Si q =
m
n
con n, m > 0, entonces
−m
n
aq =
√
n
am .
y con n, m > 0, entonces
aq =
Por ejemplo:
2
33 =
√
3
n
32 =
1
.
am
√
3
9.
Ejercicios 2.7
1. Sean x, y ∈ R con x < y. Muestre que existe un real r > 0 tal que y = (r + 1)x.
2. Sean a, b, c números reales. Suponga que b2 − 4ac > 0. Muestre que los siguientes dos
reales
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
y
2a
2a
cumplen con la ecuación
ax2 + bx + c = 0.
3.
a) Sea r ∈ R con 0 < r < 1. Muestre que 0 < r n < r para todo entero n > 1.
b) Sea r ∈ R con 1 ≤ r. Muestre que r ≤ r n para todo entero n ≥ 1.
c) Sean a, b reales positivos con a < b. Muestre que a2 < b2 .
d ) En general, muestre que si 0 < a < b, entonces an < bn para todo entero n > 1
(Sugerencia: Recuerde que bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + · · · + ban−2 + an−1 )).
4. Sea x un real positivo. Muestre que
√
√
√
1
x < √ < x − x − 1.
2 x
√
√ √
√
(Sugerencia: 1 = ( x + 1 − x)( x + 1 + x))
x+1−
√
5. (Desigualdad de Bernoulli) Sea r ∈ R, con r > −1, r = 0 y n > 1 un entero. Entonces
(1 + r)n > 1 + nr
(Sugerencia: Use inducción).
6. Sean x e y reales. Muestre que
2xy ≤ x2 + y 2
y
4xy ≤ (x + y)2 .