2.7. LA ECUACIÓN X N = A
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Demostración: La demostración es enteramente análoga a la del teorema 2.24. Daremos
suficiente indicaciones como para que el lector interesado pueda completarla. Fijemos a > 0
y un entero positivo n. Consideremos el conjunto
A = {x ∈ R : x ≥ 0, xn ≤ a}.
A no es vacío pues 0 ∈ A. Muestre que A es acotado superiormente verificando que 1 + a
es una cota superior de A. Sea c el supremo de A. Muestre, por reducción al absurdo, que
cn = a. Hay dos casos a considerar: (1) cn < a y (2) a < cn . Se analizan por separado.
Caso 1: Suponga que cn < a. Muestre que c > 0. Ahora muestre que existe un real t > 0
tal que c < t y tn < a y de esto deduzca una contradicción.
El real t lo buscaremos entre los números de la forma c(1+r) con r > 0. Como
podemos escoger un real r tal que
00
a − cn
3n c n
y además r < 1. Usando el lema 2.25 y siguiendo los mismos pasos que en la demostración del teorema 2.24 demuestre que
[c(1 + r)]n < a.
Por lo tanto c(1 + r) ∈ A. De esto deduzca una contradicción.
Caso 2: Suponga que cn > a. Análogamente al caso 1 podemos escoger un real r < 1 tal
n −a
que 0 < r < c3n a . Siguiendo los mismos pasos que la demostración del teorema 2.24
(caso 2) muestre que
n
c
.
a<
1+r
c
Ahora muestre que 1+r es una cota superior de A y esto contradice que c es la menor
de las cotas superiores de A.
2
Dado un real a > 0 y un entero positivo n, el real b > 0 tal que bn = a, dado por el
teorema 2.26, se llama la raíz n-ésima de a y se denota por
√
n
a.
El saber que existe la raíz enésima de todo real positivo nos permite definir aq para un
racional q cualquiera y un real a > 0.
Definición 2.27. Sea a un real positivo y q un racional cualquiera. Definimos
aq
de la manera siguiente: