CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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2.7.
La ecuación xn = a
En esta sección estudiaremos la siguiente ecuación
xn = a.
Mostraremos que tiene solución en R para todo entero positivo n y todo real positivo a.
Al igual que lo hecho para la demostración de la existencia de la raíz cuadrada necesitamos
un resultado preliminar.
Lema 2.25. Sea r un real tal que 0 < r < 1 y n un entero positivo. Entonces se cumple que
(1 + r)n < 1 + 3n r.
Demostración: La demostración la haremos por inducción.
Base de la inducción: n = 1. Por ser r < 3r, es evidente que
1 + r < 1 + 3r.
Paso inductivo: Supongamos que
(1 + r)n < 1 + 3n r
(2.4)
y mostraremos que
(1 + r)n+1 < 1 + 3n+1 r.
En efecto, tenemos que
(1 + r)n+1 = (1 + r)n (1 + r).
Multiplicando ambos lados de la desigualdad 2.4 por (1 + r) (que es positivo, ¿por qué?)
obtenemos
(1 + r)n+1 < (1 + 3n r)(1 + r).
Por otra parte, tenemos que
(1 + 3n r)(1 + r) = 1 + 3n r + r + 3n r2 .
Ahora bien, como 0 < r < 1 entonces r 2 < r (¿por qué?) y así 3n r2 < 3n r. Además 1 < 3n ,
luego r < 3n r. De esto concluimos que
1 + 3n r + r + 3n r2 < 1 + 3n r + 3n r + 3n r = 1 + 3n+1 r.
Usando la transitividad de < obtenemos de las desigualdades anteriores que
(1 + r)n+1 < 1 + 3n+1 r.
Y con esto termina la verificación del paso inductivo.
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Teorema 2.26. Dado un real a > 0 y un entero positivo n, existe un número real b > 0 tal
que bn = a.