CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Es claro que A no es vacío pues 0 ∈ A. Veamos ahora que A es acotado superiormente. En
efecto, mostraremos que 1 + a es una cota superior de A. Sea x ∈ A. Consideraremos dos
casos: (i) Supongamos que x < 1. Entonces, como a es positivo por hipótesis, se tiene que
x < 1 + a. (ii) Supongamos que x ≥ 1. Entonces x ≤ x2 . Como x ∈ A, entonces x ≤ a. En
consecuencia x < 1 + a.
Por el axioma de completitud A tiene supremo. Sea c el supremo de A. Veremos que
c2 = a. Supongamos que no es cierto, es decir, que c2 = a. Hay dos casos a considerar:
(1) c2 < a y (2) a < c2 . Los analizaremos por separado y veremos que ambos llevan a una
contradicción.
Caso 1: Supongamos que c2 < a. Primero mostraremos que c > 0. En efecto, es fácil
a
a
verificar que a+1 ∈ A y como a+1 > 0 se tiene que c > 0.
Ahora mostraremos que existe t > 0 tal que c < t y t2 < a. Esto contradice que c
es una cota superior de A y terminaría la demostración del caso 1. El t deseado lo
buscaremos que tenga la forma (1 + r)c con r > 0. Por ser 1 + r > 1, estos números
son claramente mayores que c. Ahora lo que estamos buscando es un real r > 0 tal que
[(1 + r)c]2 < a.
Y esto es equivalente a
a
.
c2
Por el lema 2.23, sabemos que para todo 0 < r < 1 se cumple que
(1 + r)2 <
(1 + r)2 < 1 + 3r.
Por esto, bastaría hallar r tal que 0 < r < 1 y además que
1 + 3r <
a
.
c2
Veamos que sí podemos elegir un real con esas características. Como
escoger un real r0 tal que
a − c2
0 < r0 <
3c2
y además también podemos pedir que
a−c2
3c2
> 0, podemos
r0 < 1.
En resumen, sea t = c(1 + r0 ). De la discusión que acabamos de hacer se deduce que
1 + 3r0 <
y por lo tanto t2 < a y c < t.
a
,
c2